Varm dør Tenk deg følgende situasjon: du har to store rom, begge på temperatur T0 = 0o C. Rommene er adskillt med en massiv ståldør, som selvfølgelig også holder 0o C. Men plutselig skjer det som ikke burde skjedd -- ! Det er brann i det ene rommet. Vi antar at hele dette rommet holder nå en konstant temperatur på Th = 100 oC. (h for hot!) Mens det andre rommet er fortsatt nede på konstant T0 = 0o C. Spørsmålet er: hvilken temperatur Ts måler vi ved døren? Dersom vi venter veldig lenge, er det lett å finne ut dørens temperatur Ts. Utifra symmetrigrunner må den ligge midt imellom temperaturen til de to rommene: T + T o h T = ------- s 2 Det betyr altså, i det lange løp er Ts = 50oC. Men hvordan kommer Ts fra den opprinnelige verdien på 0oC til 50oC? Stiger dørens temperaturen lineært med tiden? Kvadratisk? Eksponensielt? Svaret kan vi finne ved å tenke på hvordan varme blir transportert, og hvordan varme og temperatur henger sammen. Varmetransporten til døren fra det varme rommet er proporsjonal med temperaturforskjellene mellom døren og rommet Varmetransporten vekk fra døren til det kalde rommet er proporsjonal med temperaturforskjellene mellom døren og rommet Jo mer varme blir igjen ved døren, dess mer stiger dørens temperatur Ts Dette kan vi koke ned til ligninger. Her kaller vi varmestrømmen fra det varme rommet til døren for jh. Varmestrømmen vekk fra døren til det kalde rommet kaller vi for j0. Varmetransporten til døren fra det varme rommet er proporsjonal med temperaturforskjellene mellom døren og rommet betyr j = A (T - T ) h h s der A er en proporsjonalitetskonstant. Varmetransporten vekk fra døren til det kalde rommet er proporsjonal med temperaturforskjellene mellom døren og rommet betyr j = A (T - T ) 0 s 0 Jo mer varme blir igjen ved døren, dess mer stiger dørens temperatur Ts betyr dT = C (j - j) dt s h 0 der C er en annen proporsjonalitetskonstant. En netto-forskjell i varmestrømning i et tidsintervall dt fører altså til en liten temperaturøkning dTs. Vi kan slå alt sammen: dT = AC [T - T - (T - T )] dt s h s s 0 eller dT = AC [T - 2T + T ] dt s h s 0 Hvis man tenker litt over de forskjellige faktorer som spiller en rolle, så finner man ut at formelen egentlig lyder h dT = --------- [T - 2T + T ] dt s L Rho C_p h s 0 der h er warmetransferkoeffisienten til stål [i W/(m2K)] L er dørens tykkelse [i m] Rho er dørens massetetthet [i kg/m3] C_p er varmekapasitet til stål [i J/(kg K)] Dette er en differensialligning som vi lett kan løse i Excel. Vi starter ved å sette Ts = To og velger et lite tidsskritt dt. I hvert tidsskritt øker nå Ts litt. Hvor mye den øker, dTs, er beskrevet av formelen ovenfor. Konkret: Begynn med et nytt regneark. Skriv opp parameterne som vi trenger. Bruk cellenavn for å bevare oversikten... Legg inn en tabell som gir tidsaksen. Bruk tidsskrittet som du har bestemt deg for: Og nå lager du ved siden av en kolonne som inneholder Ts-verdiene. Den for t=0 s er altså To. Den neste er gitt ved den forrige, plus en liten økning dTs. Økningen har du fra formelen ovenfor. Tja, da gjenstår det egentlig bare å lage en graf som viser dørens temperatur over tid... det er en eksponensiell kurve. Det er fullt mulig å løse den differensialligningen rent analytisk. Løsningen er -2 h t T = 0.5 (T + T ) - 0.5 (T - T ) exp[ --------- ] s h 0 h 0 L Rho C_p Det kan du verifisere på to måter: Beregne denne kurven og legge grafen oppå den første kurven du har, som viser din beregnet løsning. Det burde være full overenstemmelse Derivere denne analytiske løsningen og overbevise deg selv om at den oppfyller differensialligningen Du kan lese mer om dette i avsnitt 2.2.3 i boken Fire Dynamics til Drysdale.

Tilbake til index