Anti-derivere en funksjon En anti-derivert F(x) til en funksjon f(x) har det sjarmerende egenskapet at F'(x) = f(x) Det finnes alltid uendelig mange funksjoner som oppfyller dette kravet: F(x) er bare bestemmt opptil en konstant. Hvis du vet tallverdiene til din funksjon f(x), hvordan finner du så en eller flere F(x)? Veldig lett. Du velger et punkt x0, for eksempel x0=0, og sier: her har min anti-derivert funksjonsverdi null. Med andre ord, F(x0) = 0. Er dette lov? Ja. Det kan du alltid si, for F(x) er bare bestemmt opptil en konstant, som sagt. Du velger dermed implisitt konstanten. Nå gå du til neste punkt, x1, og bestemmer arealet under f(x) fra startpunkten din, x0, til x1. Dette er funksjonsverdien til anti-deriverten ved punktet x1: Tilsvarende finner du funksjonsverdien i alle andere punktene. Dette er konsistent: arealet fra x0 til x0 er selvfølgelig null, dermed er funksjonsverdien F(x0) null, i overenstemmelse med vårt postulat. Her en eksempel: du vil beregne anti-derivert til funksjonen f(x) = x Vi skal ønske at F(0) = 0. Det betyr, vi må beregne arealer med utgangspunkt i x0 = 0. I Excel er dette enkelt. Først trenger du imidlertid å legge inn funksjonen f(x) og finne funksjonsverdier i et passende intervall. Neste skritt er å beregne del-arealer for alle x-verdier som du har. Nå må vi begynne å oppsummere del-arealene. For hver x-verdi trenger vi summen av alle del-arealene fra 0... fram til denne x-verdien. Dette kan du få til med funsjonen SUMMER. For å kunne kopiere denne formelen nedover i kolonnen, må du låse indexen i første argumentet ved hjelp av $-tegn: Enkel geometri forteller deg: arealet under f(x) fra 0 til 0.5 er: 0.5 x 0.5 / 2 = 0.125 Arealet under f(x) fra 0 til 1 er: 1 x 1 / 2 = 0.5 Arealet under f(x) fra 0 til 2 er: 2 x 2 / 2 = 1 Etcetera etcetera. I Excel er det noen avvik fordi vår arealberegning er nokså grov. Dette blir mindre og mindre betydningsfull dersom du øker oppløsningen. Her har du bildet: Den anti-deriverte heter F(x) = 0.5 x2 i dette tilfellet. Og dette stemmer jo: dersom du deriverer denne funkjonen, får du f(x)=x tilbake.

Tilbake til index