Mange lærere som underviser i matematikk på mellomtrinnet har ikke utdanning i matematikk fra sin lærerutdanning. Likevel synes mange at matematikk er et greit fag å undervise i. Imidlertid er det også de som føler seg svært usikre i forhold til det å undervise i matematikk, som regel fordi de mangler nødvendig faglig bakrunn.

Et 24 timers etterutdanningskurs i matematikk, kan ikke erstatte en faglig utdanning, men det kan bevisstgjøre lærere på hva som nå er sentralt når det gjelder faglig innhold og arbeidsmåter i matematikk ifølge den nye læreplanen. Vi ser på Etterutdanningskursene for lærere som en inspirasjonskilde til videre arbeid med faget.

Vi har valgt å legge opp et 24 timers kurs på 5 dager; Første og 5.dag er på 6 timer, 2., 3. Og 4.dag på 4 timer.

Vi oppsummerer, og skriver stikkord på tavle/overhead/flipover. Her er det viktig at kursholder har klart for seg dagens videre forløp, nemlig fokus på hva som legges i matematisk kompetanse, fakta, ferdigheter, holdninger og begrepsstrukturer.

Erfaringer fra avholdte kurs viser at det kommer mange uttalelser som går på det følelsesmessige aspektet i forhold til faget. Men tall og regler er det som oftest dukker opp.

Hva er så matematisk kompetanse? (Brekke 1995) (Kleve 1994)

Eks. på notasjoner, konvensjoner: 32 = 3*10 +2

3 ½ = 3+1/2

3a = 3*a

Det er viktig å ha gode ferdigheter for å løse matematikkoppgaver. Faren er å fokusere så mye på ferdighetsaspektet at forståelsesaspektet kommer i bakgrunnen.

Her kan man vise kursdeltakerne multiplikasjon av tall fra 6-9 ved hjelp av fingrene. La de prøve noen oppgaver. Utfordre dem til neste gang ved at de skal forklare (gjerne algebraisk) hvorfor den virker.

Videre er multiplikasjon ved hjelp av den russiske bondemetoden og gitter (Gelosia)-metoden et populære innslag. (Breiteig og Venheim bind I, 1993)

Divisjonsalgoritmen har vært mye omdiskutert, og det viser seg at elever har vanskeligheter med å forstå hva de faktisk gjør når de utfører regneoperasjonen. Å utføre en divisjon som Nils Johan Kjøsnes beskriver i Tangenten nr. 4 1998, får diskusjonen blant kursdeltakerne i gang. Kommentarer som : "Jamen dette er da ikke riktig", uteblir ikke. Med dette som bakgrunn diskuterer vi hva divisjon er, og viktigheten av å forstå selve begrepet og ikke bare kunne utføre regneoperasjonen rent mekanisk.

Hvis man i undervisningen fokuserer for mye på reglene og driller for mye på de, vil det føre til at elevene ofte gjør feil, og det har vist seg at mange finner sine egne regler og bruker disse blindt uten å tenke på hva de faktisk gjør. Det har vist seg at det fremkommer en del feilmønstre i forbindelse med de fire regningsartene, og en oppgave for kursdeltakerne blir da å finne ut hvilke feil eleven har gjort og diskutere hva en vil gjøre for elever som gjør slike feil. Se eksempler på feilmønstre i Breiteig og Venheim bind I.

Ensidig bruk av algoritmer for ferdigheter innen regningsartene og ensidig bruk av øvingsoppgaver som kan virke meningsløse for elevene i det omfang de ofte blir gitt kan føre til at elevene utvikler uheldige strategier for løsning av oppgaver.

I følge G. Malmer viser det seg at oppgaver som inneholder ord som fikk, økte, til sammen, eldre og dyrere fører til at elevene adderer. Er ordene ga bort, minsket, kortere tidligere eller yngre fører det til en subtraksjon. Elevene utvikler strategier som at når det er to tall i en oppgave og den største står først, er det subtraksjon, er det tall som går opp er det divisjon og tallstørrelsen kan avgjøre om det er addisjon/subtraksjon eller multiplikasjon/divisjon.

Eksempler (igjen fra G. Malmer) er:

Denne oppgaven er enkel for mange:

Åge har 30 kr. Han handler for 16 kr hvor mange penger har han igjen?

Mens denne viser seg vanskeligere:

Åge er 14 år. Han har 30 kr. Han handler for 16 kr. Hvor mange penger har han igjen?

Mange elevene har en oppfatning om at alle tall i en matematikkoppgave skal brukes. Resultatet kan derfor være at alle tre tallene adderes.

Et annet eksempel fra K. Merseth, (1993):

There are 125 sheep and 5 dogs in a flock. How old is the shepherd?

Mange elever vil produsere tallsvar, som 125 + 5 = 130. This is to big. 125 – 5 = 120. This is still too big. 125 : 5 = 25. That works! I think the shepherd is 25 years old.

Disse elevene viser tallforståelse og regneferdighet, men ser ikke ut til å forstå innholdet i oppgaveteksten.

Fra L-97, Felles mål for faget: "Opplæringen i faget har som mål at elevene utvikler innsikt i grunnleggende begreper og metoder i matematikk, og utvikler sin evne til å se sammenhenger og strukturer."

Om begrepet multiplikasjon.

Vi ser på ulike klasser av multiplikative strukturer (Brekke 1995)

Oppgaver til kursdeltakerne kan være:

- 100 personer skal hilse på hverandere, hvor mange håndtrykk?

• På hvor mange måter kan 4 personer stille seg opp i en kø?
• Tre sorter brød, fire sorter pålegg, hvor mange ulike typer smørbrød?

I forlengelsen av disse kan en komme inn på de ulike pengespillene, tipping og lotto, og man er inne på at det ikke alltid er så lett å vite at man skal multiplisere, (jfr. L-97 s. 155: mer vesentlig enn å pugge tabellen er det å forstå selve begrepet og kunne bruke det)

Om elevers tenkning omkring proporsjonalitet. Resultater fra TIMSS pilottest (Kleve 1994)

Fra målene i L97:

"Opplæringen i faget har som mål at elevene utvikler innsikt i matematikkens historie og fagets rolle i kultur og vitenskap."

Ved å omtale fremmede tallsystemer gir det en innsikt i andre kulturers tellemåte og tallbehandling. Det viser også at matematikken ikke er noe som er gitt på forhånd og at behandling av tall kan gjøres på mange måter.

Kulturers tellemåter der ord fra fingre og tær blir brukt og skrivemåter for egyptiske tall, mayatall, kinesiske pinnetall og romertall kan være eksempler på dette. Kilder kan være Breiteig og Venheim eller Ifrah.

Regning i fremmede tallsystemer

Målene og kildene er det samme som i punktet over.

Ved å regne i de fremmede tallsystemene, vil man gjøre seg bedre kjent med skrivemåten til tallene og se styrker og svakheter i de ulike tallsystemene.

Det vil også være aktuelt å kunne ta en diskusjon om utvikling av algoritmer i de ulike kulturene.I oppgaver knyttet til regneoppgaver i fremmede tallsystemer bruker vi regnetegn slik vi kjenner dem. Dette kan føre til en diskusjon omkring bruken av regnetegn og når de forskjellige tegnene ble introdusert.

Hvilke feil viste det seg at dine elever gjorde i tall og tallregning?

Referer gjerne til resultater fra KIM-testen

Viktig å poengtere at disse oppgavene ikke gis for å se hvem av lærerne som har den flinkeste

klasse. Også viktig å si noe om hensikten med diagnostisk oppgaver (Brekke 1995)

"..Undersøke tall og utforske tallmønstre…" (L97, tall i 6. klasse)

Eksempel på dette kan være:

• et rutenett med tallene 1 – 100 i rader på 10 der det trekkes ut et 3 ganger 3 kvadrat med tall slik at lærerne skal se sammenhenger. F eks om man summerer tallene i hjørnene og dividerer med 4 så far man tallet i midten. Gjelder dette uavhengig av hvor kvadratet er plassert? Kan man bruke 4 andre tall innenfor kvadratet med samme resultat? En utvidelse kan være å se om det samme gjelder om det ikke var rader på 10, men f eks på 7.
• Magiske kvadrater sett i historisk sammenheng ("lo-shu") om keiser Yii så en guddommelig skilpadde komme opp av en elv med et mønster på ryggen.
• Fystikkoppgaver som illustrerer tallfølger. La deltakerne finne møsteret, finne neste tall i tallfølgen og hva tallfølgen representerer ut fra fyrstikkene.
• Talltreningsoppgave (KUF 1998 s.51)

"…Lage figurer, former og mønstre, og arbeide med å finne ut av egenskaper ved dem." (L97, geometri i 5. klasse)

• Utforsking av geometriske mønstre (s.49 i veiledning til L-97)
• Symmetrier. Det kan være nødvendig å snakke om symmetrier før lærerne får oppgaver å forholde seg til. Eksempler på å se symmetriakser kan være i Breiteig og Venheim Bd 1, s. 411 – 412, eller i Kirfel, Brucker, Herbjørnsen s. 86-92 og s. 140-145.
• Tesselering. (Kirfel, Brucker, Herbjørnsen s. 23-35.)
• Papirbretting. – origami. La lærerne få et eksemplar av en brettet eske og noen papirark og la de brette esken selv.

"Elevene opparbeider ferdigheter i å kunne lese, formulere og formidle emner og idéer hvor det er naturlig å bruke matematikkens språk og symboler." (L97, Felles mål for matematikkfaget)

• La deltakerne lage en enkel strektegning. Deretter skal tegningen tegnes av neste deltaker uten å få se tegningen. Kommunikasjon kan foregå i flere ledd uten at deltakerne får se tegningene før til slutt. De får heller ikke si at de tegner en hus, båt, tre, person eller liknende. Men kun bruke geometriske begreper som linje, sirkel, firkant, osv.. Man kan også gjøre dette vanskeligere ved at den som tegner ikke får spørre om noe, bare si om tegningen er ferdig og at den som forklarer ikke ser hva som blir tegnet av neste. Aktiviteten viser hvor vanskelig det er å være presis nok i uttrykksformen når noe skal formidles og hvor lett det er å misforstå. Det viser også at �det viktig å ha en felles forståelse av geometriske former og begreper. (etter idé av Geir Botten)
• Bygging med klosser. Aktivitet som over, men her er beskrivelse av de forskjellige klossene og plasseringen av dem viktig.
• Skattekart. La lærerne, litt avhengig av kurslokale, vær og tid på året, tegne et kart. Det kan godt være skattekart med gjemt skatt, men kan også være gangvei til skolen, fra buss- eller toget eller annet lokalt. Deltakerne kan etterpå fortelle hva de tenkte under tegneprosessen, sammenlikne kart som skulle framstille det samme og si litt om hva som var vanskelig underveis. Man kan godt la deltakerne selv få uttrykke hvor man finner matematikken i denne aktiviteten.
• Papirbretting igjen. Hvordan kan papirbretting instrueres? Ved først å vise bretting av en enkel kopp sammen med lærerne, kan de selv lage en instruksjon for bretting av koppen.

"Elevene skal bli fortrolige med begrepet sannsynlighet, spesielt i praktiske sammenhenger som angår sjanse, risiko og usikkerhet. L-97 s. 162).

Knut Andersen, Høgskolen i Oslo og tidligere lærer ved Ringstabekk ungdomsskole, har i mange år arbeidet prosjektorientert ved Ringstabekk.

Arbeidet besto i at lærerne på trinnet før skolestart planla året og de emnene det var naturlig å arbeide med som prosjekt. Deretter ble det satt av tid i en årsplanlegging, slik at alle visste når og i hvilken grad fagene skulle delta i prosjektene. For matematikkens del visste læreren hvilke deler av fagstoffet som skulle behandles i prosjektet og hvilke som måtte gjennomgås på annen måte. For utforming av detaljer omkring arbeidet viser vi til erfaringer fra Ringstabekk skole, Knut Andersen eller undertegnede. Når det gjelder litteratur, viser vi til Theo Koritzinskys bok: Tema og Prosjektarbeid i skolen.

Ideer til aktiviteter og vurderingsformer henter vi herfra og diskuterer med lærerne. Lærernes egne erfaringer er det også viktig å få fram og å diskutere.

Mange lærere kjenner lite til regneark og hvordan det virker. Skal dette inn i etterutdanningen, må det mange steder til et "knottekurs" for å få lærerne i gang. Det er imidlertid viktig å få i gang en diskusjon om hva regneark kan brukes til og på hvilken måte. Aktuelle emner kan være desimaltall, tallfølger, formler, matematisk modellering, budsjett, regnskap og grafiske framstillinger.

Som oppsummering kan man trekke tråder fra kursets innhold og innholdet i L97. Dette kan gjøres eksplisitt ved hver kursdel, men også ved å se på arbeidsformer og overordnede mål i læreplanen. Det er ikke å vente at et kort kurs alene skal endre på praksis fra lærerne i skolen, men det kan gi et bidrag til en kursendring.

Et interessant spørsmål til lærerne kan derfor være:

Hvordan har kurset bidratt til å forme min matematikkundervisning i tiden framover?

Kirfel, Brucker, Herbjørnsen: Matematiske sammenhenger. Geometri. Caspar 1997

Kleve, Bodil: En testteoretisk og diagnostisk analyse av flervalgsoppgaver i matematikk fra

Lysø, Knut Ole: Sannsynlighetsregning og Statistisk metodelære, Caspar 1997

Oppgaver i tall og tallregning, NLS 1994

Voje Johansen, Onstad, Ommundsen, Solvang: Aktiv matematikk 2 MY, NKS forlag1995

Vurdering som bindeledd mellom undervisning og læring. Matte er gøy. SUE 1996