utforskende utforskendeSigne Holm Knudtzon, Høgskolen i Vestfold.
Eksempler på arbeid med elever, lærerstudenter og lærere.
Matematiske emner som belyses er speiling, tesselering og perspektiv.
Hvorfor er det så vanskelig for mange lærere å ta i bruk de nye mulighetene som finnes?
Hvor er problemene? Hos politiske myndigheter, skolen eller lærerne?
Mitt utgangspunkt er at:
Matematikk er et spennende fag
som har mye å tilby
alle elever
mer enn de fleste elever får oppleve i dag
og at datateknologi gir nye muligheter for å få innsikt i matematikk som et dynamisk fag. Dette kan gjøres ved regneark, grafprogram og det som jeg skal ta opp her: Dynamisk geometri.
Jeg vil her kalle en undervisning som legger vekt på overføring og opplæring av regnemåter for ”vanlig undervisning”. Den tar vare på noen av matematikkens resultater som den oppøver /trener elevene i å anvende. Den betoner øving og nøyaktighet. Før hadde elevene i en klasse omtrent samme tempo, nå anvender ofte lærere arbeidsplaner som gir elevene noe forskjellig arbeidstempo og arbeidsmengde, men i hovedsak det samme innholdet. På barnetrinnet er det mange lærere som ønsker at elevene skal oppleve matematikk som et morsomt fag. De legger stor vekt på lek og variasjon, utfordringen her blir ofte å skape sammenheng, å sette ord på de resultatene en finner og å bygge videre på disse. Å få fram, hva er det vi har lært i dag, hva har vi funnet ut, hvordan kan vi bruke det videre.
Matematikk har både ÅPNENDE og ORDNENDE prosesser, vi må la barna få del i deler av hele matematikkens verden.
utforskende utforskende
uten data med data
vanlig vanlig
uten data med data
Jeg lager her et lite skjema om matematikkundervisning. Mitt ønske er at elevene skal få oppleve en undervisning der begge de to øvre kvadratene er tydelig i undervisningen.
Den snirklete stien er litt av vandringen.
Hvis læreren og elevene ikke er vant med utforskning og problemløsning som en vesentlig del av arbeidet i matematikk er det ikke å vente at de plutselig skal arbeide utforskende med data i matematikk. Det er lettere å gi en ”kokebokinstruksjon” i hvordan en bruker et dataprogram enn å forandre en tradisjonell undervisning til en undervisning med vekt på undring, undersøkelse, problemformulering, problemløsning og selvstendig tenkning. Det er lettere å bevege undervisningen til høyre i skjemaet enn å løfte den.
at elever får anledning til å utforske
matematikk ved hjelp av Dynamisk Geometri.
Er det for ambisiøst?
• det må finnes datamaskiner som fungerer
• det må finnes programvare
• det må finnes lærere som tør og er villige til å prøve
• det må finnes lærere som kan dette
Hva kan gjøres Ovenfra
(fra Kunnskapsdepartementet):
1) krav i læreplan
2) økonomi til data (datamaskiner, data-program og nødvendig vedlikehold)
programvare for dynamisk geometri mangler i skolen!
3) økonomi til opplæring og støtte av lærere
Det er dette som koster!
Det er her det er nødvendig med et løft/krafttak!
4) krav til eksamen /avgangsprøve/vurdering
1) Kravet om dynamisk geometri i læreplan er ivaretatt i den nye læreplanen.
2) Hvis programvare skal kjøpes kan vi anslå at vi har ca 3000 skoler og at en skolelissens koster ca 5000 kr. Det utgjør 15 millioner. Mulighetene for kvantumrabatt på kommune/fylkes/landslissens burde være gode!
Vedlikehold av maskinparken er et problem. Det er stor slitasje, delvis pga av uvøren/uforsiktig bruk. Å ta ut kulen av musen ser ut til å være en sport mange steder (ikke bare i Norge).
3) Opplæring og støtte til lærere. Dette er det mest kostnads og ressurskrevende arbeidet. (utdypes senere i teksten)
4) krav til eksamen /avgangsprøve/vurdering. Vi vet at det som gis til eksamen styrer innholdet i undervisningen. Dokumentasjon på at elevene har ferdigheter i og kan anvende dynamisk geometri må derfor inngå, helst i form av problemløsningsoppgaver. Fuglestad (Norma05, i denne rapporten) har beskrevet dette. Torkildsen 2005 har utdypet problemet i forhold til bruk av regneark.
Dynamisk geometri DGS
Her nevnes fire forskjellige program. På vår høgskole har vi erfaring med de to første. Alle studenter på allmennlærerutdanningen lærer Cabri på et grunnleggende nivå (3x3 undervisningstimer med obligatoriske øvinger). Studenter som velger fordypningskurset M3 i matematikk får mer kjennskap til Cabri, i hovedsak ved å arbeide med geometriske problemer. De blir også kjent med den danske versjonen av Sketchpad ”Geometer”.
• Cabri Geometre II pluss (har norsk versjon)
• The Geometer’s Sketchpad (har dansk versjon Geometer)
• Cinderella (utviklet i Tyskland, mulighet for å arbeide med ikke-Euklidsk geometri parallelt)
• GEONExT (gratis, norsk versjon nov 2005)
• Kommune (nye nettverk er ofte begrensende, brukerne settes ut av spill)
• Rektor (viktig )
• Lærere
Mange kommuner har gått over til ett felles nettverk for alle skolene i kommunen. På skolene er det bare arbeidsstasjoner. Det er ikke mulig å bruke disketter, USB-penner eller CD-er i disse arbeidsstasjonene. En av fordelene er at det da er færre ting som kan gå i stykker, bli ødelagt. Av problemer med systemet er blant annet at det går langsomt å være på internett når mange er logget på, det samme gjelder anvendelse av program.
Det største problemet er at brukerne i form av lærere og skolens IT-ansvarlige blir fjernet fra innflytelse på hva som er tilgjengelig for elevene. All innlegging av program og dokumenter må foregå sentralt. Det ser ut som det er vanskelig å ha et program for en skole. Gamle lisenser er dermed ikke lenger mulig å bruke.
For mange skoler har innføringen av et sentralt kommunalt nettverk gitt ett dårligere tilbud til elevene. Ofte har skolene gitt de gamle maskinene fra seg før de oppdager dette.
Skolens ledelse og miljøet blant lærerne har mye å si for innstillingen til å møte nye utfordringer. Det må legges til rette for dette, ved at det avsettes tid og det må stilles forventninger til lærerne. At lærerne er faglig oppdatert er ett felles ansvar for den enkelte lærer og skolens ledelse/arbeidsgiver.
I forhold til lærerne
Ligger en trippel forventning:
kunne matematikk
beherske data
drive undersøkende undervisning
Mange av lærerne som underviser i matematikk mangler matematikk i sin utdanning. Dette gjelder særlig i barneskolen. Det obligatoriske kurset i lærerutdanning gis stadig mindre lærerresurser og for mye undervisningstid går med på reparere manglende forkunnskaper ved inntak. Det tar tid og innsats for lærerstudenter å bygge opp et selvstendig forhold til matematikk som kan danne grunnlag for en meningsfull undervisning og god læring for elevene.
Blant lærere som har vært i skolen noen år og som ikke har fått opplæring i IKT i sin grunnutdanning er det mange som er fremmed for data. Noen av lærerne kan være redd for å trykke på gale taster, det kan nesten virke som de er redd for at maskinen skal eksplodere eller at de skal ødelegge den. ”Dataskrekk” er et velkjent begrep hos IKT-lærerne. Vi møter det også hos enkelte av våre lærerstudenter.
Etter L97 ble lærere tilbudt tre-dagers kurs i IKT i skolefag. De fleste kunne velge hvilket/hvilke fag de deltok på. Med tredagers kurs er det vanskelig å få lærerne til å prøve ut i egen klasse mellom kursdagene. Det var også sjelden det var lagt til rette for det på skoleni form av avsatt tid. Kursene fungerte mest som ”opplysningskurs” og ikke så godt i forhold til å tilføre undervisningen noe nytt.
Å få uvante problemer i matematikk er skremmende, når dette kombineres med IT er isen tynn.
Datarommet er opptatt
Nettet er nede
Maskiner er ødelagt
Program som ikke (lenger) er tilgjengelig
og manglende vilje
Det er kvalitativt nytt og bedre
det har noe å tilby
det er ikke data for dataens skyld
Men fordi matematikken blir mer interessant og gjennomskuelig
og morsom/inspirerende/utfordrende
Eksempler på arbeid med dynamisk geometri (Cabri)
Det finnes en ”passer” i Cabri. Den fungerer nesten som en vanlig passer. Vi trenger et linjestykke (det gir en radius) og et punkt, da avsettes ikke bare den lille buen vi pleier å lage når vi bruker passer, men hele sirkelen. (Cabri –verktøyboksen konstruksjon (1))
En liten oppgave: Tre punkt A, B og C representerer tre hus.
Postkassen skal være like langt fra alle punkt (hus). Hvordan kan vi ved konstruksjon finne ut hvor postkassen skal være?
(Oppgaven er gitt til ungdomsskolene avgangsgangsprøve i 1994)
De to første figurene viser de tre husene først som punkt og deretter bundet sammen til en trekant.
De to neste figurene viser først to midtnormaler der skjæringspunktet mellom dem er punktet P (postkassen). Deretter er det konstruert en sirkel med sentrum i P, den går gjennom A, B og C. Vi kan bevege punktene A, B og C ( i Cabri) og vise at dette er en generell konstruksjon. (Men beviset må vi lage selv.)
Her er eksempler fra elever i 4. klasse som har arbeidet med speiling. Elevene har ikke arbeidet med dynamisk geometri tidligere. Det er lærerstudenter som har undervist klassen.
Den første figuren er ”tegnet”. Eleven har prøvd å tegne et speilbilde på den andre siden av speilingslinjen.
Den samme eleven har laget figuren under (husene), der har hun brukt den ferdige
macroen ”speil om linje”. Ved å gå inn i dokumentet hennes (i Cabri) kan vi se
at hun har vekslet på hvor hun har laget sine originaler. Den brune trekanten er
festet på de gule trekantene men er laget på venstre side av speilingslinjen.
De neste figurene har skrå speilingslinjer. Ved animasjon (rotasjon) av original-23-stjernen roterer speilbildet motsatt vei av originalen.
Nå finner vi ut at det som bestemmer hvordan speilbildet ser ut er originalen og det som bestemmer hvor speilbildet er, er hvor speilingslinjen er i forhold til originalen. (Vi kan bevege speilingslinjen og bevege originalen, men bildet kan vi ikke ”dra i”.)
Slik undervisningen ofte er i dag med ensidig bruk av vertikale og horisontale speilingslinjer og for mye anvendelse av rutenett i arbeidet med speiling, skapes et uferdig og usmidig begrep om speiling i mange elevers hoder.
At den regulære (likesidete) trekanten og kvadratet fyller planet vet de fleste.
(ungdomstrinnet og lærerstudenter)
At den regulære femkanten ikke kan fylle planet finner vi også fort ut og at sekskanten kan har naturen ved biene vist oss lenge.
Når vi pusler med mange identiske firkanter, enten som papirbiter eller ved hjelp av dynamisk geometri finner vi ut at det er mulig å fylle planet med slike biter. Vi roterer 180 grader om sidemidtpunktene og får dette bildet:
Det andre bildet er laget fra samme dokument, det er bare originalfirkanten som er forandret, nå er den konkav.
To identiske trekanter blir et parallellogram. Flere parallellogram blir et bånd, flere bånd blir hele planet.
Eksempler på tesselering (fliselegging):
Jente i 10. klasse lærerstudent
Hvordan beveger ventilen på sykkelhjulet seg når hjulet triller på veien?
Gjett først, klikk deg deretter inn i bildet og prøv. (internett-adresse)
Nye læreplaner tar ofte opp nye tema. Nytt i læreplanen i 2006 er perspektiv. Etter 7. klasse skal elevene kunne tegne perspektiv med ett forsvinningspunkt.
I dagens lærerkorps er det lærerne i Kunst og håndverk som underviser om perspektiv.
Arbeider vi med DGS kan vi flytte horisonten og perspektivpunktet etter konstruksjonen.
Her er også tilført et nytt hus ”i rekken”. Her ønsket vi et nytt hus etter samme tegning som det første. For å konstruere det andre huset benytter vi oss av ”formlike trekanter”. (likeformete firkanter og femkanter). I Cabri kan vi anvende avbildningen ”strekk”. (Et punkt, et linjestykke, en trekant eller en mangekant kan strekkes i forhold til et punkt og et tall.)
Dynamisk geometri i forskning
I vår egen forskning tok vi utgangspunkt i dette:
Hva skjer hvis vi tredeler de indre vinklene i en trekant?
Morleys setning
Den indre trekanten er likesidet
Se http//shk.ans.lu.no I dette arbeidet var anvendelse av dynamisk geometri vesentlig, inspirerende og nyttig for hva vi fant ut og hvilke spørsmål vi stilte underveis.
Konkrete forslag.
Vi ser at elevene er raske til å ta i bruk dataverktøy. De er ikke redd for at noe skal gå galt om de trykker en gal tast. Elevarbeidene her er utført av elever første eller andre gang de arbeider med Cabri.
Hvis en av de største hindringene for at elevene skal få tilgang til slike redskap er lærernes manglende kunnskap (og vilje) kan en tenke seg muligheter for å nå elevene direkte for en kortere eller lengre tid.
TV gjerne kombinert med internett når fram til de fleste hjem i Norge. (En gratis internett tilgang på lokale bibliotek og mulighet for å anvende skolens datarom en eller to ettermiddager i uken vil være nødvendig) /DVD
Mange land har egne TV-kanaler for undervisning.
Opplæring i dynamisk geometri kan f. eks gjøres ved at vi har en ”Landsslisens” som alle kan bruke. Vi kan ha instruksjon i enkel bruk ved hjelp av TV/DVD eller internett. Deretter kan en gi problemer/oppgaver av forskjellig vanskelighetsgrad. Det kan være muligheter for elevene å sende inn forslag til løsninger og spørsmål. Disse kan f. eks besvares av lærerstudenter eller av nyutdannete lærere som ikke får arbeid. Lærerne/lærerstudentene som besvarer kan støttes av at de er i nettverk med hverandre og at det finnes godt kvalifisert personale tilgjengelig (erfarne lærere evt lærerutdannere).
Løsninger på problemene /oppgavene kan så være et nytt TV-program et par uker senere.
Når elevene først er fortrolig med programmet vil da forhåpentligvis resten av lærerne komme etter.
Referanser og Internettressurser:
http://www.cabri.com/v2/pages/en/index.php
http://www.keypress.com/sketchpad/
http://antique.cinderella.de/en/demo/
http://geonext.uni-bayreuth.de/
+ egen nettside til noen av figurene som er med her, slik at de kan beveges.
http://shk.ans.hive.no/ (skal legges på denne adressen)
Fuglestad, Anne-Berit, (2006). IKT-verktøy i matematikk-elevers valg, løsninger og vurderinger. I Bruk av IKT i matematikkundervisningen - muligheter og begrensninger. Nordisk konferanse i matematikkdidaktikk ved NTNU 21. og 22. november 2005, Konferanserapport No. 4 - 2006
Torkildsen, Svein H. (2005). Nasjonale og internasjonale prøver - drivkraft eller bremsekloss? I Vurdering i matematikk - Hvorfor og hvordan? Fra småskole til voksenopplæring Nordisk konferanse i matematikkdidaktikk ved NTNU 15. og 16. november 2004, Konferanserapport No. 3 - 2005
http://www.matematikksenteret.no/content.ap?thisId=57&language=0