M3 Arbeidsark torsdag 10.10 2002

Mesopotamisk multiplikasjonsalgoritme, Fermats faktoriseringsmetode og

bruk av variable i begrunnelser

 

(L=lett, M=middels, V=vanskelig)

L-1

Benytt den mesopotamiske multiplikasjonsalgoritmen til å regne ut disse produktene:

a) 15×19   b) 215×99  c) 40×66  d) 38×11

 

L-2

3.2 – 3.4 i kompendiet

 

L-3

Faktoriser tallene ved hjelp av Fermats faktoriseringsmetode

a)      33  b) 2295  c) 3999  d) 40633  e) 240 

 

L-4

5.2 - 5.4 i kompendiet

 

M-1

La de naturlige tallene x og y være slik at x>y. Forklar hvordan du kan finne produktet xy uten å gå veien om x og y dersom du vet at

a) x+y=65 og x-y=13

b) x+2y=132 og x-2y=4

 

M-2

4.2 i kompendiet.

 

M-3

Gjør oppgave L-3 ved hjelp av Excel regneark.

 

M-4

5.5 - 5.9 i kompendiet.

 

V-1

4.3 i kompendiet.

 

V-2

Vi vet at alle oddetall n>1 kan skrives som en differanse av to kvadrattall, n=x²-y² på minst en måte.

Forklar hvorfor et partall n ikke kan skrives n=x²-y² dersom n/2 er et oddetall.

 

V-3

Likningen u_n = 0,6u_n-1 + 0,4u_n+1 er et eksempel på en differenslikning (rekursiv likning) der poenget ofte er å finne et eksplisitt uttrykk for u_n (altså u_n uttrykt ved hjelp av n) .

Anta at u_n er på formen rⁿ.

a)      Forklar hvorfor r må tilfredsstille andregradslikningen 0,4r² – r + 0,6 = 0 dersom

      u_n = rⁿ tilfredsstiller differenslikningen.

a)      Løs andregradslikningen i a). Finn generelt løsningene av likningen pr² – r + q = 0, der p+q=1 og p>0.

b)      Finn u₈ dersom du får oppgitt at u₀=0 og u₁₀=1 (vink: bruk for eksempel Excel)

c)      Kan du tenke deg en spill/gambling-situasjon som passer til dette oppsettet?

 

V-4

Du får oppgitt at et kubikktall av et tosifret tall (et tosifret tall opphøyd i tredje) er gitt ved ditten eller datten. Hvorfor er det hoderegning (eller iallfall nesten) å finne frem til hvilket tosifret tall det er snakk om?

 

 

 

Fasit til

 

M-1 Bare primtallene kan skrives som en slik differanse på bare en måte.

V-3  b) første tilfelle: r=1 eller r=3/2  andre tilfelle:  r=1 eller r=q/p  c) u₈»0,43 (eksakt: )

        d) To spillere, A og B,  spiller om et visst antall kroner og satser hver gang en krone hver. A starter med n

            kroner og har sannsynlighet p for å tape og q for å vinne. u_n betener sannsynligheten for at A vinner til

            slutt (slik at B går konkurs). I tilfelle c) finner vi altså at når det spilles om til sammen 10 kroner og A

            starter med 8 kroner, vil sannsynligheten for å vinne hele spillet være ca 0,43 dersom

            vinnersannsynligheten på hvert spill er 0,4.