7.1 – 7.4 (rekursive og eksplisitte formler)

7.8 (deriverte følger), 7.10 (følger og regneark)

L – 3 (deriverte følger)

Finn de tre neste leddene i disse følgene ved å studere differenser (deriverte):

a) 2 3 7 14 24

b) 1 4 11 22 37

L – 4 (rekker)

7.17 og 7.18

L – 5 (geometrisk følge)

En geometrisk følge er en følge der det er et konstant forhold mellom to på hverandre følgende tall, dvs a_n+1/a_n er konstant for alle n.

1. Gi et eksempel på en geometrisk følge.
2. Et beløp på 50000 kroner står i banken til forrentning til en årlig rente på 5%. Hvor mye penger står det i banken etter 10 år? Forklar hva dette har med geometriske følger å gjøre.
3. Hvor mange år må pengene stå i banken for at beløpet minst skal fordoble seg?

L – 6 (figurtall)

8.6 – 8.8

7.5 (rekursive og eksplisitte formler)

7.9 (deriverte følger), 7.12 (følger og regneark)

7.15 (glidelåsmetoden)

M – 4 (rekker)

7.20

M – 5 (figurtall)

8.2 og 8.3

Se på denne rekursjonsformelen: a_n+1 = a_n - (a_n²- x)/(2a_n)

1. La x=2 og sett a₁=1. Beregn a₂ og a₃.
2. Utforsk situasjonen for andre verdier av x og a₁ ved å benytte Excel regneark.
3. Finn a uttrykt ved x dersom vi setter a_n+1=a_n=a.

7.26 og 7.27 (geometriske rekker)

V – 3 (figurtall)

8.5

Finn et eksplisitt uttrykk for x_n dersom

a) x_n+1=3× x_n og x₀=2 b) x_n+1=(n+1)× x_n og x₀=1 c) x_n+1=1,05× x_n og x₀=1000

d) x_n+1=x_n+1 og x₀=0

Dersom du synes det er vanskelig å finne et uttrykk for x_n direkte, bør du prøve deg fram ved å sette opp de første leddene og så forsøke å finne systemet.

Eva Olsen setter x₀=10000 kroner i banken i begynnelsen av år 0. Det er en fast årlig rente i banken på r=0,05. Anta at x_n og x_n+1 er beløpets størrelse ved begynnelsen av hhv år n og år n+1. Sett opp en rekursjonslikning som forbinder x_n og x_n+1.

Bruk rekursjonslikningen til å sette opp en formel for x_n. Hvor mange penger har Eva Olsen i banken ved begynnelsen av år 11?

La x_n være antall tipperekker det er mulig å tippe med n kamper.

1. Gi en begrunnelse for at følgende rekursjonslikning gjelder: x_n+1=3× x_n, der x₁=3.
2. Hvor mange tipperekker er det mulig å tippe hvis det er 12 kamper?
3. Hvor mange tipperekker er det mulig å tippe hvis det er n kamper?

Finn løsningen x_n til følgende rekursjonslikninger, men finn først x₂, x₃, x₄ og x₅ ved gjentatt innsetting (manuelt eller ved Excel). Kontroller at tallene du finner passer i den generelle formelen:

1. x_n+1-5x_n+6x_n-1=0, der x₀=1 og x₁=2 (svar: x_n = 2ⁿ)
2. x_n+1+x_n-2x_n-1=0, der x₀=1 og x₁=4 (svar: x_n = 2 – (-2)ⁿ)
3. x_n+1=2x_n-1, der x₀=1 og x₁=0. Forklar hvorfor x_2k+1=0. Hva blir uttrykket for x_2k? (svar: x_2k=2^k)