Kvantedatamaskiner og kvantekommunikasjon

Fagkode: FE8100 (PhD-fag).

Koordinator / faglærer: Johannes Skaar, epost: johannes.skaar*at*iet.ntnu.no.

Uketimer: 2,5Vt.

Forutsetninger: Basiskunnskaper i matematikk. Det blir forsøkt tatt hensyn til varierende forkunnskaper i kvantemekanikk.

Undervisningsform: Forelesninger, kollokvier, øvinger, selvstudium.

Eksamen: 19. des. 2005. Tid: 0900-1300. Sted: ?

Kursmateriell: M. A. Nielsen og I. L. Chuang: Quantum computation and quantum information. Liste over trykkfeil finnes her. Utvalgte artikler.

Forelesninger/kollokvier:

Innhold:

Introduksjon i kvantemekanikk: Lineær algebra, postulater, evolusjon, målinger, tetthetsoperatorer. Einstein-Podolsky-Rosen paradokset, Bells ulikhet og teleportasjon. Klassiske kretser og kvantekretser. Utvalgte kvantealgoritmer. Kvanteinformasjonsteori: Schmidt-dekomposisjon og rengjøring, fidelitet, kvanteoperasjoner, entropi, Holevo-grense. Litt om feilkorrigerende koder, LOCC, mål på sammenfiltring og destillering/utvanning av sammenfiltring. Kvantekryptografi. Fysiske realiseringer av kvantekretser med hovedvekt på fotoniske realiseringer.

Foreløpig pensumliste:

Kort introduksjon

Nielsen&Chuang:

Kap. 1: 13-40

Kap. 2: 60-118, 532

Kap. 3: 129-138

Kap. 4: 171-189 (fram til Exercise 4.36).

Kap. 6: 248-255

Kap. 8: 353-365, 376-379

Kap. 9: 409

Kap. 10: 425-434

Kap. 11: 500-504, 506-508, 510-511

Kap. 12: 528-536 (ikke bevis av Holevo), 582-602 unntatt 12.6.2 og 12.6.4

Kvantisering av det elektromagnetiske felt, harmonisk oscillator, nummertilstander, koherente tilstander (f.eks. kopi av R. Loudon, ”The quantum theory of light”, s. 126-136, 144-151 bortsettfra det som har med bruk av faseoperatorene).

Kap. 7: 277-279,

Kap. 7: 7.2.1-7.2.4 leses overfladisk.

Artikkel om lineær optikk (bortsettfra kap. IV).

Kap. 7: 293-297 (Ikke-lineær Kerr-effekt)

Foreløpig plan:

Uke	Tema
34-36	Les kap. 1 overfladisk. Kap. 2.1 og 2.2 må leses grundig. Gjør oppgavene (løsninger under)!
35	Postulatene i kvantemekanikk (2.2)
36	Målinger forts., Kloning umulig (s532), Heisenbergs usikkerhetsrel (s89), Sammensatte systemer, Supertett koding, Tetthetsoperatorer
37	Tetthetsoperatorer
38	Schrödingers katt, Bells ulikhet
39	Stoff fra kap. 3. Kvantekretser (kap. 4)
40	Kvantekretser (kap. 4).
41	Kvanteinformasjonsteori: Mål på renhet. Klassisk og kvantemekanisk entropi og informasjon. Holevo-grense.
42	Kvanteinformasjonsteori: Schmidt dekomposisjon. Rengjøring. Kvanteoperasjoner og støy.
43	Kvanteinformasjonsteori: Fidelity. Feilkorrigerende koder.
44	Mål på sammenfiltring. Destillering og utvanning av sammenfiltring. LOCC.
45	Ingen forelesning. Les om Deutch-Jozsa algoritmen og Grovers søkealgoritme.
46	Kvantekryptografi. Sikkerhetsbevis.
47	Fysiske realiseringer av kvantedatamaskinger. Lineære multiporter, fotoniske realiseringer med ulineære elementer. (Harmonisk oscillator, kvantisering av el.mag. felt – leses på egen hånd hvis ukjent.)
48	Ekstra tid/oppsummering/spørretime
	Eksamen

Øvingsoppgaver med løsning til utvalgte oppgaver:

Oppg. 1: Vis at Toffoli-porten (se s. 29) kan realiseres som en kvante-port, dvs. finn den tilhørende matrisen og vis at den er unitær.

Oppg. 2: Fig. 1.16 viser en klassisk krets som kopierer en bit, dvs. FANOUT. Forklar hvorfor / vis at den tilsvarende kvantekrets-konfigurasjonen ikke kan brukes til å kopiere en kvantebit.

Oppg. 3: Design kvantekretser som implementerer U_f for de fire mulige funksjoner f(x), se fig. 1.17. Bruk CNOT og enkelt-qubit-porter.

Oppg. 4: Exercise 2.2. Finn matriserepresentasjonen til A med hensyn på basisene:

a) |0> og |1>

b) (|0> + |1>)/Ö2 og (|0> - |1>)/Ö2

(Bruk samme inn- og ut-basis).

Løsning 1

Exercise 2.5, 2.6, 2.7

Exercise 2.8: Vis at Gram-Schmidt metoden gir en ortonormal basis for vektorrommet V, se likn. (2.17). Dvs.:

- vis at vektoren |v_k₊₁> ikke er nullvektoren.

- vis at vektoren |v_k₊₁> er normalisert.

- vis at vektorene |v_k₊₁> og | v_j> er ortogonale for j £ k.

- forklar hvorfor vektorene |v₁>, …, |v_d> danner en basis for V.

Exercise 2.9, 2.10, 2.11, 2.12

Løsning 2

Exercise 2.14-2.25 untatt 2.21. På 2.20 er løsningen A’’ = UA’U⁺ for en unitær U. Vis det og finn U.

Løsning 3

Exercise 2.26-2.33.

Exercise 2.35 (Hint: Vis og bruk at (v×s)²= I).

Løsning 4

Exercise 2.44-2.48.

Exercise 2.51-2.61.

Oppgave med POVM-målinger: Gitt tre operatorer E₁, E₂ og E₃ definert ved likningene (2.118-2.120).

- Vis at operatorene er positive.

- Forklar hvorfor vi kan definere måleoperatorene M_m = ÖE_m og vis at relasjonen (2.94) er tilfredsstilt.

- Vi utfører nå en måling av en qubit som er i en av to tilstander |y₁> = |0> eller |y₂> = (|0>+|1>)/Ö2. Vis at dersom resultatet av målingen med {M_m} er m = 1 så var tilstanden helt sikkert |y₂> og dersom resultatet av målingen er m = 2 så var tilstanden helt sikkert |y₁>.