Dr. Scient. Ingvill M. Holden
Program for lærerutdanning/ Institutt for matematiske fag
Norges teknisk naturvitenskapelige universitet
Trondheim
Målet med dette studiet har vært å finne svar på hva slags oppgaver og hvilke arbeidsformer som er med på å skape en indre motivasjon hos elevene for å lære matematikk. I løpet av prosjektet ble det mer og mer tydelig hvor stor betydning klasseromskonteksten og lærerens måte å tilrettelegge undervisningen på, har i forhold til motivasjon. Lærerens holdning til faget og elevene, og hvordan hun oppfatter og spiller sin egen rolle, viser seg å være svært viktig for å kunne bygge opp en indre motivasjon hos elevene. Dette er minst like viktig som de oppgaver og de arbeidsmåter som danner rammen rundt elevenes arbeide i undervisningen.
Jeg har fulgt en 6. klasse og deres lærer gjennom et helt skoleår. De kommer til ny skole med nye lærere. Alle har ulik erfaring med matematikk og matematikkundervisning fra tidligere klassetrinn, men de fleste har en opplevelse av matematikk som et fag der man lærer metoder og algoritmer som kan brukes for å løse aktuelle oppgaver.
Gjennom fru Flink blir de kjent med matematikk på en ny og annerledes måte. Matematikk blir etterhvert et fag preget av egenaktivitet, fantasi og initiativ. De skal undersøke, finne ut og forklare, og skifter fra et fasitorientert perspektiv til en forståelse av at det å kunne formidle hvordan en oppgave er løst og hvorfor metoden virker, blir mer interessant enn selve svaret. De opplever etterhvert følelsen av tilfredsstillelse over å kunne hjelpe medelver og diskutere matematiske problemstillinger. Matematikk blir et spennende og kreativt fag, og de gleder seg til timene.
Hvordan får fru Flink dette til? Det er det denne artikkelen skal handle om.
Utvalget
Klassen vi skal studere er en 6. klasse fra en offentlig skole i en middels stor amerikansk by, midt i landet. Skolen er en “Middle School”, der elever fra hele byen er samlet i 6. og 7. klasse. De er ferdig med “Primary School” og skal over i “Junior Highschool” i 8. og 9. klasse.
I 6. klasse hører elevene til et “team” på omtrent ett hundre elever. Disse elevene har de samme lærerne i ulike fag, slik at lærergruppen utgjør et lærerteam som har ansvaret for undervisningen av disse hundre elevene. “Teamet” er igjen delt opp i fire klasser, der elevene er sammen i kjernefagene. Fru Flink underviser de fire klassene i matematikk hver dag, slik at hver klasse har matematikk en fast tid på dagen, fem dager i uka.
Vi følger en av disse klassene i løpet av skoleåret 1996/97.
Elevene er 12 - 13 år. Det er 24 elever i klassen, 13 jenter og 11 gutter. De har ulik etnisk bakgrunn, men flesteparten er hvite amerikanske barn. Kunnskapsnivået varier mye. Det gjør også elevenes holdninger til faget og motivasjon for å lære, selv om alle elevene mener at matematikk er et viktig fag. Med unntak av to elever, tror alle at de får bruk for matematikk i studier og framtidig yrke. Det er stor spredning i familiebakgrunn og sosial status.
Klasserommet er møblert slik at elevene sitter i en hestesko der alle kan se og høre hverandre. Utenfor hesteskoen står et ekstra bord til bruk for de som trenger ekstra hjelp. En hjelpelærer er til stede i klassen som ekstraressurs for elever som trenger spesielt tilpasset undervisning. Ingen kan gå inn i dette klasserommet uten å oppdage at dette er et matematikkrom. Klasserommet er samtidig lærerens kontor, og det er de ulike elevgruppene som kommer til hennes rom for å ha matematikk. Den ene veggen er dekket av en “ordliste” med viktige matematiske “gloser”, tilpasset læreplanen for dette alderstrinnet. Her henger også elevarbeider med plakater over “matematiske oppdagelser” og gjenstander de har laget i matematikktimene, som for eksempel origamifigurer, snøkrystaller, tesseleringsarbeider og tallmønstere. Langs veggene står lave skap, fylt med spill og puslerier som Fru Flink har samlet gjennom mange år. I det ene hjørnet er det ekstra problemløsningsoppgaver som elevene kan hente når de har tid til overs, eller hvis de blir fort ferdig med hjemmearbeidet. Det er også en boks som elevene kan legge selvlagede oppgaver i, eller de kan hente oppgaver som andre har laget for å løse dem. De som har laget oppgavene, skal “rette” dem etterpå.
På veggen henger to konvolutter, en med “oppgaver inn” og en med “oppgaver ut”. Her legger elevene oppgaver de vil at Fru Flink skal se på, og hun legger dem tilbake med kommentarer.
Fru Flinks overordnede mål for undervisningen er at alle skal like matematikk og ha det gøy mens de arbeider med faget. Hun sier selv at nøkkelen til suksess ligger i humør og moro. Det verste for en elev, det som virkelig vil ta fra dem motivasjonen for faget, er å kjede seg eller å føle at de er dumme. Dette er noe studentene også gir uttrykk for i intervjuer:
Hvis det er kjedelig, mister du lysten til å jobbe med matematikk. Men hvis det er gøy, sånn som når vi spiller et spill der du virkelig får bruk for matematikk, da lærer du mer.
Fru Flinks undervisning er preget av hennes pedagogiske grunnsyn og matematikkdidaktiske forankring. Ved å observere henne i samspill med elevene, har jeg funnet noen karakteristikker ved hennes undervisning:
- hun legger mye arbeid i å presentere matematikk på en morsom måte
- hun bruker ingen lærebok
- hun bruker ulike former for belønning
- hun har en avtale med elevene om 30 minutter til hjemmearbeid hver dag
Hennes måte å arbeide på, viser seg også gjennom det miljøet hun skaper i klassen:
- elevene støttes og oppmuntres til å samarbeide og dele ideer med hverandre
- elevene hjelper hverandre
- det blir verdsatt å kunne arbeide i par og grupper, men det er også viktig å kunne arbeide selvstendig
- det legges stor vekt på å skape fruktbare og stimulerende diskusjoner om matematiske problemstillinger, ideer og løsninger i klasserommet
Lærerens langsiktige og klare mål var å “modellere” klassen fra en gruppe elever med et tradisjonelt matematikksyn fokusert på ønsket om å finne et fasitsvar til en gruppe som verdsetter matematisk forståelse og viser en sterk indre motivasjon for å lære matematikk.
Fru Flink klarer å få til en balanse mellom eksperimenterende og utforskende arbeidsmåter på den ene siden, og innøving av nødvendige ferdigheter på den andre siden. Hun tror på at mange ting må automatiseres og innøves, men det skal være etter at de har forstått hvordan og hvorfor teknikkene fungerer.
Selv om fru Flink lar elevene få eksperimentere, utforske og stille spørsmål, har hun en viss rutinepreget måte å gjennomføre timene på. Timen starter alltid med at elvene legger boka med hjemmearbeidet oppslått ved siden av seg på pulten. På tavla står det jeg kaller “rutineoppgaver med vri”, som elevene begynner å regne på mens fru Flink går rundt og signerer hjemmearbeidene. Rutineoppgaver med vri, betyr repetisjonsoppgaver med svar som danner et tallmønster. Dette skal elevene oppdage etter hvert som de regner oppgavene. Vi skal se eksempler på slike oppgaver til slutt i artikkelen.
Etter denne innledningen starter den utforskende delen av matematikktimen. Det kan være et nytt spill med nye matematiske utfordringer, det kan være et mønster som skal utforskes, konkrete gjenstander som skal lages eller andre utfordrende arbeidsoppgaver. Det varierer om denne delen er individuell eller i grupper, men det er nesten alltid lov til å arbeide sammen i fru Flinks timer.
Timen avsluttes med en diskusjon om hva de har funnet ut, nye sammenhenger som er utforsket og nye funn. Til slutt avtales hva elevene skal arbeide med hjemme til neste gang.
Innenfor denne strukturen er det åpent for innspill fra elevene. En av fru Flinks mest profesjonelle egenskaper, er evnen til å fange opp innspill og ideer fra elevene, og ta dem på alvor. Hun “løfter fram” gode ideer og spiller videre på dem. Elevene får en reell følelse av å bli tatt på alvor, at deres ideer og innspill har betydning. Det skapes en atmosfære av tillit, slik at det ikke er skummelt å komme med forslag som viser seg å ikke føre fram, eller svare feil.
Dette er i tråd med de nye læreplanene som anbefales i “The Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics” i USA:
Elever vil gjøre det bedre og lære mer i et trygt miljø hvor de tør å utforske matematiske ideer, stille spørsmål, diskutere ideer og gjøre feil. Ved å lytte til elevenes ideer og oppmuntre dem til å lytte til hverandre, kan en skape en atmosfære av gjensidig respekt. Lærere kan fremelske viljen til å snakke om sine ideer ved å hjelpe elevene med å utforske nye spørsmål, finne svar og teste sine egne resultater.
Fru Flink har vært matematikklærer i 23 år. I løpet av disse årene har hun utviklet en måte å undervise på som hun mener er best for hennes elever, og hun utvikler seg stadig. Hun har gradvis funnet fram til denne balansen mellom styring og kontroll på den ene siden, og frihet til utforskning og medbestemmelse på den andre. Jeg har aldri tidligere sett slik iver og engasjement i forhold til matematiske problemstillinger som det jeg opplevde i denne klassen.
Hvordan et enkelt spørsmål, helt uten forankring i en praktisk situasjon eller en relevant problemstilling kunne ta fullstendig av, var vanskelig å forstå for en utenforstående.
Klassen fikk følgende oppgave:
Bruk sifrene 9, 8, 7, 6 og 5 til å lage et multiplikasjonsstykke med en tresifret og en tosifret faktor slik at produktet blir størst mulig.
Hverken fru Flink eller jeg hadde forventet en slik innsats. Det ble framvist en slik innsats og multiplisert så mange stykker uten at noen tenkte på dette som en drill eller trening i multiplikasjon av store tall. De diskuterte ivrig og engasjert om det skulle være “nihundreognoe” ganger et tosifret tall eller “noenognitti” ganger et tresifret tall som ville gi størst produkt. Noen elever ble nysgjerrige på hvor mange ulike stykker de kunne lage med de fem sifrene og begynte å undersøke det. Da timen var slutt, var ingen sikre på om klassen hadde funnet det maksimale produktet, men det største de hadde til da, ble notert på tavla. I timen etterpå hadde fru Flink en annen klasse. Midt i timen ringte en elev fra den første klassen for å fortelle at han hadde funnet et enda større produkt!
Hvordan fikk hun det til?
Metode:
Jeg brukte en etnografisk tilnærming (Eisenhart 1988) til mitt case-studium. I det ligger følgende fire tilnærminger til forskningsmaterialet:
- Deltakende observasjon
Observasjonsperioden varte fra september -96 til april -97. Jeg var til stede i nesten alle matematikk timene, 90 minutter hver deg. Hvis det var behov for å observere eller prøve ut noe i en sammenlikningsklasse, kunne jeg innimellom være til stede i en av de andre klassene til fru Flink. Min rolle var til å begynne med relativt anonym, men etter hvert ble jeg mer og mer en del av selve klassemiljøet. Noen ganger som et gruppemedlem i en elevgruppe, av og til som hjelpelærer, og ved noen anledninger var jeg lærer og fru Flink observatør. Elevene visste at jeg var interessert i å finne ut mest mulig om hvordan de tenkte og arbeidet med matematikk, og de var veldig ivrige til å gi respons på alt jeg spurte om. - Etnografisk intervju
Et veloverveid utvalg på tolv elever ble intervjuet tre ganger i løpet av skoleåret, i september, januar og april/mai. Fru Flink ble intervjuet to ganger. Intervjuene var relativt formelle, men alle spørsmålene var basert på faktiske hendelser i klasserommet. Intervjuene fikk dem til å reflektere over ting de hadde sagt eller gjort, eller som andre hadde sagt eller gjort, og kommentere dette. Alle intervjuene ble tatt opp på bånd, og det meste av det ble transkribert. I tillegg til disse formelle intervjuene, hadde jeg hele tiden uformelle samtaler og intervjuer med elevene. Dette ble notert i observasjonsboka. Flere ganger i uka hadde fru Flink og jeg samtaler og analyser av episoder fra timene. Dette førte til en gjensidig bevisstgjøring og sjanse til å videreutvikle ideer og metoder. Vi hadde begge stort utbytte av dette samarbeidet. - Jakt på artifakter
Alt slags materiell fra lærer og elever som kunne vise seg å være av interesse, ble samlet inn og tatt vare på. Det var elevbesvarelser, arbeidsark, prøver, hjemmearbeid, prosjektrapporter, bilder av ting elevene laget, oppgaver de laget til hverandre, bilder av elevene i arbeid, video fra en skoletime, og så videre. Dette ble analysert og tolket sammen med observasjonsnotatene og intervjuene. - Triangulering
Jeg hadde sjansen til å samarbeide med en uavhengig forsker, som ikke hadde vært til stede i klasserommet, men som hadde forskererfaring fra slike case studier. Han tjente som en diskusjonspartner i forhold til mine funn og min måte å tolke observasjoner, intervjuer og elevarbeider på. Dette var en stor fordel sett i lys av at jeg ble veldig involvert i klassen, arbeidet veldig tett sammen med elevene og læreren, og kunne lett bli subjektiv i mine analyser og vurderinger.
- Observasjoner, funn og tolkninger
Noen forskere setter likhetstegn mellom indre motivasjon og det å ha det morsomt. Hvis elevene er i besittelse av en indre motivasjon, blir verdien av ytre motivasjonsfaktorer mindre viktig. Premier og belønninger, karakterer og rangering av elevene kommer i bakgrunnen, og vi kan fokusere undervisningen på forståelse og læring for livet.
For å forstå hvordan ulike erfaringer fra skolesituasjoner kan innvirke på motivasjon for å lære, er det viktig å se motivasjonen i forhold til læringssituasjonen eller oppgavenes kvalitet når elevene opplever dem som interessante, morsomme, meningsfulle eller relevant, i motsetning til oppgaver som oppfattes som kjedelige, trettende, meningsløse eller irrelevante fra elevens perspektiv. (Barbara L. McCombs, 1996)
Intervjuene med de tolv elevene fra ”min” klasse, viste nettopp dette. Når det å ha det morsomt var en vesentlig forutsetning for å sette i gang med en oppgave eller aktivitet, gledet elevene seg til timene, de likte å være i klasserommet med fru Flink, de likte faget og de ble etter hvert bevisst på viktigheten av å forstå og å være i stand til å kunne forklare det de hadde tenkt til andre.
| Wendy: | Fun in math? I think maybe a different creative way to learn it, you know … |
| To just work out of the book, that´s boring. It really turns you off from math | |
| Christina: | I think the worst thing is busy-work. I hate busy-work… |
| I feel good about myself in math class when she tells me that I showed my thoughts in a good way, and she shows them on the overhead ... and you could probably help people in the long run. |
Motivasjonen er, slik jeg ser det, allikevel styrt av en form for belønning. Da mener jeg belønning i form av positiv tilbakemelding som enten kan gis som en direkte følge av innsatsen, eller den kan gis i forhold til et langt tidsperspektiv. Det er naturlig å skille mellom ytre og indre belønning, i tillegg til en kontekstuell belønning som vil være avhengig av situasjonen den blir gitt i, hvilke personer som er til stede og hvilken form for tilbakemelding disse gir.
Eksempler på ytre belønning er lærerens ros og positive reaksjon, premier og karakterer. Indre belønning kan være opplevelse av å ha det morsomt, en følelse av makt i forhold til det å ha fått til noe som andre oppfatter som vanskelig, følesen av å forstå noe til bunns eller god selvtillit. Kontekstuell belønning er for eksempel andre elevers reaksjon, det å få vist fram og synliggjort egen suksess, en klasseromssituasjon som oppfattes som stimulerende, for eksempel i form av utradisjonelle hjelpemidler og tilgjengelighet av oppgaver og aktiviteter som virker spennende, utfordrende eller morsomme, eller det kan være utsikter til at det en arbeider med skal kunne brukes til noe, eventuelt at det ender i et konkret produkt.
Mellin-Olsen (1981) bruker begrepet rationales for learning, en slags personlig logikk som den enkelte former sine egne læringsstrategier i forhold til. Dette vil danne grunnlaget for det vi kaller motivasjon for læring. Mellin-Olsen skiller mellom instrumental rationales og social rationales. Jeg vil oversette dette med instrumentell og sosial begrunnelse for læring.
Den istrumentelle begrunnelsen er elevens ønske om “en god fremtid”. Denne begrunnelsen fører til ren instrumentell læring, en læring som ikke viser interesse for det faglige innholdet, men som er styrt av et ønske om å vise seg fram, demonstrere kunnskap for å få ros av læreren eller gode karakterer. Læreplanenes emneliste kan sees på som mål for den instrumentelle læringen. Hvis vi sammenlikner dette med diskusjonen ovenfor, vil dette svare til det jeg har kalt ytre motivasjon og deler av den kontekstuelle motivasjonen.
Den sosiale begrunnelsen er formet av elevens egen erkjennelse av skole og utdanning, og forståelsen av hva som er nyttig kunnskap og verdifullt for fremtiden. Dette er klart avhengig av den sosiale situasjonen eleven befinner seg i. Det at eleven har det gøy, lar seg fasinere av matematikkens spennende verden og finner glede i å oppdage nye sammenhenger og system, vil høre inn under den sosiale begrunnelsen. Elever som verdsetter forståelse, gleder seg over å kunne dele oppdagelser med medelever, og finner det motiverende å samarbeide med og hjelpe andre, vil også finne matematikken meningsfull gjennom en sosial begrunnelse. Dette vil svare til det jeg har kalt indre motivasjon, men også til de deler av den kontekstuelle motivasjonene som dreier seg om sosiale forhold.
Mellin-Olsen sier at den ideelle situasjonen er når den instrumetelle og den sosiale begrunnelsen er sammenfallende. I dette tilfellet er læreplanen som leder til gode karakterer og en god eksamen det samme som det eleven oppfatter som nyttig kunnskap ut fra sin egen sosiale situasjon. Det er vanskelig å bevare denne situasjonen over lengere tid for mange elever. Det vi opplever i de fleste klasserom, er at det er et visst overlapp mellom de to. Den viktigste oppgaven for lærere og didaktikere, er å gjøre dette snittet så stort som mulig.
Det er dette viktige samspillet mellom ytre og indre motivasjon som fru Flink demonstrerer gjennom sin undervisning, og som vi skal se mange eksempler på i denne artikkelen.
Elevene i fru Flinks klasse var generelt veldig stolte hvis deres arbeid ble vist fram for resten av klassen. På spørsmål om de ville presentere sine egne løsninger selv, eller om læreren skulle presentere dem, delte de seg i to grupper. Noen mente helt klart at de kunne forklare best selv hvordan de hadde tenkt, mens andre elever hadde angst i forhold til å stå foran klassen. De ville gjerne at fru Flink skulle presentere arbeidene deres, men de ville ikke gjøre det selv.
| Wendy: | You will have your little own thaughts about it, cause, you know, you can add some things to make people understand better. And if the teacher does, she doesn´t know your thinking process. |
| Drew: | |
| I really don´t like presenting things. I´m afraid I´m gonna mess up. (Interviewer: Even if you knew you had a correct solution?) Yeah, I´d still be nervous.… I feel good if the teacher presents my solution to the rest of the class, because usually that means it´s one of the best papers, or you did a good job, or something unusual that worked. |
Ved siden av at det var viktig å ha morsomme oppgaver, viste både observasjoner og intervjuer at lærerens entusiasme var viktig. Det at hun med all tydelighet viste og ga uttrykk for at hun selv syntes dette var gøy og spennende, var i høy grad smittende på elevene, og virket inn på deres motivasjon. Hun sier selv i et intervju:
| Fru Flink: | If presented in the right way, I think almost any task can be fun.… Well, I never think about motivation, that those two words, I think about having fun.… To teach the way I do now, I just love it! … |
Denne uttalelsen, sett i sammenheng med hennes overordnede mål om at elevene skal ha det gøy mens de lærer matematikk, viser tydelig hvordan hun arbeider med å gjøre snittet mellom den insrumentelle og den sosiale begrunnelsen for faget (Mellin-Olsen 1981) så stort som mulig.
Elevene er klar over og bevisst på at de har en lærer som er glad i faget sitt.
| Joey: | She really likes math a lot more than normal math teachers, I think. |
| Wendy: | Mrs. Flink, she is really math oriented. Everything is math.… I´ve never seen anybody teach like Mrs. Flink before. She always get really excited too, about the math games. |
Den lærerrollen fru Flink innehar i dag, er nok forskjellig fra den hun hadde da hun startet som lærer. Hun sier at hennes mål alltid har vært å få til en undervisning som den hun nå praktiserer. Hun har utviklet sin måte å arbeide på gjennom en lang karriere og har latt seg påvirke av ulike personer, bøker hun har lest og erfaringer hun har høstet gjennom egen undervisning.
| Fru Flink: | Several things have made me teach the way I do now. One of them is that the abilities are so different… The lesson needs to be easy enough so that the lower ability students feel some success, and it has to be varied enough so that the high students can be challenged. It´s sort of always been my dream to teach the way I am now – to have all these variety of things there at hand for them to use all the time, anytime. And to really try to make it understandable and meaningful to all of them. |
Fru Flink er tro mot det jeg har valgt å kalle hennes klasseromskonstanter. Det er noen prinsipper og mål for egen undervisning som kom veldig tydelig fram for meg etter å ha observert henne over lengre tid. Hennes klasseromskonstanter er:
- en ekte entusiasme for elevenes forslag og bestrebelser
- entusiasme for og glede over matematikkens fantastiske verden
- verdsetting av respekt, omsorg, nysgjerrighet og kreativitet
- verdsetting av det å tørre å ta sjanser, kaste seg ut i ukjente ting
- verdsetting av forståelse, i motsetning til å fokusere på fasitsvar
- verdsetting av følelsen av å ha det gøy sammen med elevene
- verdsetting av elevenes stolthet og eierforhold til eget arbeid
- høye forventninger til alle elevene
Hun har små geniale påfunn for å vekke elevenes interesse og gjøre dem nysgjerrige. Når elevene kommer til matematikktimene, kan de bli møtt av store plakater på døra med tekster som får dem til å glede seg til ting som skal skje i matematikktimene. Det kan være:
Neste tirsdag:
Mønsterfestival!!
eller
Rektangel-race
Kommer snart!!
I løpet av skoleåret bygger fru Flink opp et miljø og et klasserom som skal passe til hennes konstanter. Dette gjør hun ved å vise at hun verdsetter det elevene liker og å få elevene til å like det hun verdsetter. Hun er bevisst på å få til dette gjennom å
- bruke elevenes innspill og forslag
- planlegge neste skritt mot målet – men venter til elevene er klare for det
- oppmuntrer elevene til å foreta selvstendige valg og prioriteringer
- bygger opp stolthet og eierforhold til egne arbeider
- utvikler prøver og tester i samsvar med hennes mål
Eksempler på aktiviteter i klasserommet
Jeg vil gi et eksempel som blant annet viser at fru Flink bevisst venter på en anledning, i form av innspill fra en elev, til å trekke dem et skritt nærmere målene.
Fru Flink presenterer en oppgavetype som for elevene oppfattes som en ”gjett og sjekk lek”. For læreren, og det visste ikke jeg da, er det en tidlig tilnærming til to likninger med to ukjente. Dette var helt i begynnelsen av skoleåret. Den første oppgaven ble gitt slik:
Summen av to tall er 13. Produktet av de samme tallene er 36. Hvilke tall er det?
Elevene kom med forslag og det ble notert, sjekket, og etterhvert funnet fram til de rette tallene, 9 og 4. Det ble ikke stilt spørsmål om hvordan de fant det ut.
På dette tidspunktet var jeg ukjent med fru Flink og hennes syn på undervisning og matematikk. Jeg tenkte at jeg var kommet til en tradisjonell lærer i et tradisjonelt klasserom.
De etterfølgende dagene arbeider de med tall og tallkombinasjoner på ulike måter, blant annet med bruk av mynter.
En uke senere får de fire ulike oppgaver der de har oppgitt summen og differansen av to tall. Finn tallene!
Elevene gjetter og sjekker og kommer etter hvert fram til tallene på de tre første oppgavene. Den siste oppgaven er vanskeligere. Summen av tallene er 704 og differansen er 106.
Da skjer det. En elev har oppdaget noe. Det har oppstått det jeg kaller ”en gjennombruddssituasjon”.
Hun sa at hvis vi subtraherer svarene og deler resultatet med to, får vi det ene tallet vi leter etter!
Dette medførte en enorm aktivitet. Elevene ville sjekke om dette var tilfelle for alle oppgavene de hadde arbeidet med. De fant fort ut at det virket når det var sum og differens som var oppgitt, men ikke når det var produkt. Etter en stund fikk vi en ny gjennombruddssituasjon. En annen elev sa:
”Hei, hvis vi legger sammen svarene i stedet for å trekke fra, får vi det andre tallet vi leter etter!”
Ny aktivitet og ny aksept for at dette var en brukbar metode.
Fru Flink har fått en atmosfære i klassen som har brakt elevene et stort skritt nærmere dit hun ønsker å få dem. Hun bringer ikke inn begrepet ”to likninger med to ukjente”, men lar elevene glede seg over sine oppdagelser. Så vil mange av dem, neste gang dette dukker opp, huske sine oppdagelser og se sammenhengen.
Gjennom dette oppdaget jeg mye av kjernen i hennes måte å tenke undervisning og læringsprinsipper på. Jeg forsto at dette ikke var en tradisjonell lærer i et tradisjonelt klasserom.
Det andre eksempelet viser hvordan det kan oppstå et ”gyldent øyeblikk”, uten at det har vært planlagt av læreren på forhånd. I dette tilfellet ført et spørsmål fra en elev til at hele klassen begynte å utforske et interessant matematisk problem.
Mange kjenner tallet 6174, det såkalte Kaprekars konstant. Fru Flink introduserte dette for elevene med et faglig mål å trene på subtraksjon og se etter tallmønster. Hun spurte elevene om de kunne gi henne et firesifret tall. Tallet 6953 ble skrevet opp på tavla.
| ”Skriv sifrene i en annen rekkefølge, slik at tallet blir så stort som mulig” | 9653 |
| ”Bytt om rekkefølgen på sifrene, slik at tallet blir så lite som mulig” | 3569 |
| ”Trekk det minste fra det største” | 6084 |
| ”Gjør dette om igjen og om igjen” | 8640 – 0468 = 8172 |
| 8721 – 1278 = 7443 | |
| 7443 – 3447 = 3996 | |
| 9963 – 3699 = 6264 | |
| 6642 – 2466 = 4176 | |
| 7641 – 1467 = 6147 | |
| 7641 – 1467 = 6147 |
“Når vi kommer til tallet 6147, blir det hele tiden det samme tallet om og om igjen! Det må være et magisk tall. Kanskje det var noe spesielt med det tallet vi startet med?”
Elevene kaster seg over nye tall. De oppdager fort at ikke alle sifrene kan være like, ellers virker det med alle tall. På et tidspunkt kommer de alltid til 6147. Sara og Leslie er uenige om hvor mange regnestykker de må gjøre før de kommer til Kaprekars konstant når de starter med 3914. Midt i diskusjonen sier Jason at det ikke spiller så stor rolle, for de kommer fram til 6147 til slutt, selv om de gjør en enkelt feil underveis.
Da gjør Matt en spennende oppdagelse. “Hei, hvis jeg starter med tallet 9753, kommer jeg til Kaprekars konstant med en gang! Jeg lurer på om det skjer med noen flere tall.”
Klassen blir fort enige om at alle permutasjoner av sifrene i 9753 vil gjøre jobben. Plutselig er hele klassen engasjert i å jakte på tall som gir Kaprekars konstant med en eneste operasjon. Snart finner noen tallet 6640. Fru Flink henger en plakat på veggen. Det står: “Disse tallene gir Kaprekars konstant med en operasjon”, etterfulgt av tallene 9753 og 6640. Hver gang noen finner et nytt tall, blir det skrevet opp på plakaten. Klassen blir enig om at de bare vil sette opp tallene med like siffer én gang. Etter ei uke er det ti tall på plakaten. Fire av dem var:
9753 - 9533 - 6640 - 6420
“Jeg tror jeg ser et mønster,” sier Sara. “La oss prøve med 9973 og 9313!”
9973 - 3799 = 6174
“Det virker! Men 9313 passer ikke, for det siste sifferet er større enn det nest siste.”
Hvilket mønster er det Sara har oppdaget? “Hvis vi har et tall som virker, kan vi trekke fra 2 på de midterste sifrene og beholde det første og det siste sifferet.”
“Kult, la oss prøve med 6866. Nei, der er ikke sifrene synkende. Vi prøver 6200.”
6200 - 0026 = 6174 Yesss!!!
Flere elever gjetter og sjekker, tester ut nye antagelser i forhold til et mønster. Jason og Matt går systematisk til verks. De ser på hva som skal til hvis første siffer er 9. Etterpå prøver de 8 og 7 som første siffer. Snart har klassen denne lista:
Tallet med * er Kaprekars konstant med sifrene stokket om.
Aldri hadde fru Flink vært med på at denne aktiviteten hadde skapt slik nysgjerrighet og utforskende aktivitet i en klasse. Når slike “gyldne øyeblikk” oppstår, er det helt avgjørende at læreren oppfanger idéen, glemmer sine egentlige planer, og lar elevene få anledning til å følge sin iver etter å finne svar på de matematiske gåtene de har foran seg.
Læreren må også tørre å ta sjanser.