Prosjekt-oppgaver i algebra/anvendt algebra

Dynkin diagram (Reiten)

Forskjellige temaer i algebra (Reiten/Smalø)

En rekke andre oppgaver i algebra er mulig. Disse vil normalt bygge på et eller flere av kursene Ringer og Moduler, Galoisteori og Ringteori. Ta kontakt med en av de fast ansatte i algebragruppen for nærmere avtale.

4-underromsproblemet(Smalø)

La W være et vektorrom og V_1, V_2 og V_3 være tre underrom. Systemet (W; V_1,V_2,V_3) blir kalt dekomponerbart dersom det finnes ikketrivielle underrom W' og W'' i W slik at W' Å W''=W, og V_i =W' Ç V_i Å W'' Ç V_i for i=1,2,3. Det er ikke så vanskelig å vise at dersom systemet (W;V_1,V_2,V_3) ikke dekomponerer, så er dimensjonen til W mindre enn eller lik 2, og at det essensielt bare finnes 9 slike system som ikke dekomponerer.

4-underromsproblemet gikk ut på å beskrive de systemene som ikke dekomponerer når en øker antall underrom fra 3 til 4 som i beskrivelsen ovenfor. Prosjektet går ut på å gå gjennom en løsning av 4-underromsproblemet og relaterte lineæralgebraiske problemer.

Prosjektet passer for opptil tre-fire studenter.

Forutsetninger: Det er en fordel å ha tatt TMA 4150 eller MA 2201 og MA 3201 eller tilsvarende.\medskip

Litteratur: L. A. Nazarova og A. V. Roiter, Representations of Partially Ordered Sets, J. Sov. Math. 3 (1975) 585 - 606

Anvendt algebra-oppgaver

Kodeteori-prosjekt (Smalø)

For informasjon om dette prosjektet ta kontakt med Sverre, sverresm (at) math ntnu no.

Diskret logaritmer på elliptiske kurver (Gjøsteen/Rudakov)

Computing discrete logarithms on elliptic curves seems to be a very hard problem.

The most successful attacks work for certain special curves where it is possible to shift the problem to groups where computing discrete logarithms is possible. A spectacular case is anomalous curves, where the discrete logarithm problem turns out to be trivial. One possible topic is to study the use of the Weil pairing to move the discrete log problem to a finite field. Another topic is moving it to a hyperelliptic curve via Weil restriction.

A different class of attacks are based on lifting points from a finite field to global fields. These are not very successful, but analysing why these attacks fail requires a lot of very interesting mathematics.

Tall-kropp sålden (Gjøsteen/Rudakov)

The number field sieve is currently the best known method for factoring large integers. The same techniques are applicable to finding discrete logarithms in finite fields.

In certain cryptographic situations (chosen ciphertext attacks), extra information may be available for solving certain problems. One possible topic is to attempt to adapt the number field sieve to solving these problems, to see if the extra information will speed things up.

You need background in algebra nd cryptography. Preferably with the courses in Rings and Modules and Galois Theory. It would be an advantage to follow the course Commutative algebra while doing the project.

NTRU (Gjøsteen/Rudakov)

NTRU is a relatively new public key cryptosystem based on certain hard problems related to lattices. Possible topics include lattice algorithms for breaking the cryptosystem, padding schemes for encryption with NTRU, signature schemes based on NTRU, and the application of quantum computers to breaking NTRU.

You need a background in algebra and cryptography for this project.

Reference: background material can be found on the homepage of the company NTRU, see http://www.ntru.com/cryptolab/articles.htm

Sikker deling og algebraiske tall kroppper (Gjøsteen/Rudakov)

"Sikker deling" er en teknikk for å la n deltakere "dele" en hemmelighet. Man ønsker at når tilstrekkelig mange av de n deltakerne samarbeider, skal de sammen kunne finne hemmeligheten. Denne teknikken har mange anvendelse innen kryptografi.

En algebraisk tall-kropp er en endelig kroppsutvidelse av Q (de rasjonale tall). Cramer, Fehr og Stam har foreslått og studert effektive metoder for sikker deling basert på algebraiske tall-kropper. Vi tar utgangspunkt i artikkelen "Black-box secret sharing from primitive sets in algebraic number fields" som finnes på
http://homepages.cwi.nl/~fehr/mypapers/CFS05.pdf

Krever bakgrunn i algebra/tallteori. Det er en fordel med bakgrunn i kryptografi og/eller kodeteori. Det vil også være en fordel å ta kurset Kommutativ algebra (som går høst 2006) som emne-modul.

Semantisk sikkerhet (Gjøsteen/Rudakov)

Denne oppgaven går ut på å sette seg inn i teoretiske modeller for sikkerhet i protokoller som anvender offentlig nøkkel-kryptografi. I forbindelse med diplom-oppgaven kan det være aktuelt å studere RSA-OAEP, som er en variant av RSA som (under visse forutsetninger) er sematisk sikker. RSA-OAP er st praktisk offentlig nøkkel system, blant annet er det standard i SET-protokollen (SET = Secure Electronic Transactions). Stinson, kapittel 5.9 gir en ide om hva dette handler om.

Krever bakgrunn i algebra og kryptografi.

Oppgaver i samarbeid med Inst. for telematikk (Gjøsteen)

Om noen er interessert i prosjekt/diplom i samarbeid med telematikk, ta gjerne kontakt med Aslak eller Kristian.

Forutsetningene for en slik oppgave vil vanligvis være kursene Algebra og Tallteori, Kryptografi og Informasjons-sikkerhet (ved ITEM).

Oppgaver foreslått av Nasjonal Sikkerhetsmyndighet (Gjøsteen)

NSM har foreslått noen oppgaver. Forutsetninger: Kryptografi.