NORGES TEKNISK-NATURVITENSKAPELIGE UNIVERSITET

Fullstendig ikke-lineære partielle differential likninger

En klasse av partielle differensial likninger (PDEer) som har vært mye studert de siste 20 årene er de såkalte Hamilton-Jacobi-Bellman likningene (HJB-likningene fra nå av):

Disse likningene kan være av første eller andre orden og eksempler på første ordens likninger av denne er Hamilton-Jacobi-likningen fra klassisk mekanikk

og Ikonallikningen fra optikk/seismikk

Fra et matematisk ståsted er HJB-likningene interessante fordi de utgjør den første klassen av fullstendig ikke-lineære likninger som man klarte å analysere. Fullstendig ikke-lineær vil her si at likningen er ikke-lineær i de høyeste deriverte. Konserveringslover (for de av dere som har hørt om dem), f.eks. Burgers likning

tilhører ikke denne klassen, da de er lineære i den høyeste deriverte. Vi sier at konserveringslovene er kvasilineneære.

Det viser seg at HJB-likningene ikke trenger å ha klassiske løsninger, dvs. løsninger som er to (eller en) ganger deriverbare og oppfyller likningen i hvert punkt. I stedenfor må vi innføre såkalte viskositetsløsninger. En viskositetsløsning trenger bare å være kontinuerlig og for å gi mening til likningen brukes såkalte testfunksjoner. Merk: Dette løningsbegrepet er helt forskjellig fra de såkalte svake løsninger (for f.eks. elliptiske likninger) og de såkalte entropiløsninger (for f.eks. konserveringslover). Disse løsningsbegrepene baserer seg på å multipliere likningen med en testfunksjon og deretter integrere den. Det viser seg at dette trikset ikke kan benyttes på fullstendig ikke-lineære likninger.

Et annet problem er at siden likningene er ikke-lineære kan de ha mange løsninger. Men fysisk sett vil bare en av dem være relevant, og dette vil nettopp være viskositetsløsningen. Fra et numerisk ståsted er HJB-likningene meget interessante fordi numeriske metoder må designes slik at de konvergerer og det mot den riktige løsningen!!

Fra et praktisk ståsted er HJB-likningene viktige pga. de mange anvendelsene. Disse likningene opptrer i optimerings- eller reguleringsproblemer der modellikningen er et system av ordinære (eller stokastiske) differensiallikninger. Slike problemer er det mange av innen fysikk, kybernetikk, elektronikk, seismikk og finans. Noen eksempler:

• Etsing av elektriske kretser.

• Regulering av en kjemisk reaktor.

• Tolkning av seismismiske data.

• Porteføljeforvaltning i finans.

Oppgaver

Jeg har mange oppgaver knyttet til HJB-likningene, både teoretiske, numeriske og kombinasjoner av de to. Alle oppgavene innebærer at en må bruke noe tid på å lære seg hva viskositetsløsninger er for noe. Vanskelighetsgraden kan varieres. Nedenfor har jeg listet opp endel forslag veldig kortfattet. Jeg oppfordrer derfor de av dere som er interessert til å komme innom kontoret mitt for å få flere opplysninger. Andre oppgaver kan også diskuteres.

Teoretiske oppgaver:

• 1. Viktige spørsmål man ønsker å besvare når man studerer partielle differensiallikninger, er eksistens og entydighet av løsninger. Oppgaven går ut på å gjøre rede for dette på utvalgte likninger og randverdiproblemer.

• 2. Et annet viktig spørsmål man ønsker å besvare, er om såkalt kontinuerlig avhengighet av løsninger. Dvs. hvis man endrer likningen littegrann, ønsker man at løsningene til de to probleme skal være nesten like. Oppgave går ut på å gjøre rede for slike resultater for utvalgte likninger og randverdiproblemer.

• 3. Et tredje problem man ønsker å besvare er hvilken regularitet løsningen av en partiell differensiallikning har. F.eks. er løsningen deriverbar? Oppgaven går ut på å gjøre rede for resultater som viser at løsningen er Lipschitz kontinuerlig. Ulike likninger og randverdiproblemer kan studeres. (Kommentar: en Lipschitz kontinuerlig funksjon er deriverbar "nesten overalt", og den deriverte er begrenset). Det er også mulig å se på resultater som viser at lønsingen er semikonkav - en sterkere betingelse enn Lipschitz kontinuitet.

• 4. (Kun diplom!) I en rom-dimensjon kan en vise at det er en sammenheng mellom løsningene til konserveringslover og løsningene til visse første ordens HJB-likninger. Oppgaven går ut på å gjøre rede for dette.

• 5. NY! Homogenisering av HJB likninger. Dette er et populært forskningsområde for tiden med anvendelser i fysikk og materialvitenskap. Ideen er å "midle" likningen for å få en enklere likning som modellerer samme problem. Her finnes mye morsom teori, ta kontakt for mer detaljer! Oppaven går på å gi en oversikt over litteraturen og gjennomgå argumentene i noen enkle tilfeller og evt. (diplom?) utlede nye resultater for en type ikke-lokale HJB likninger.

Numeriske oppgaver:

Det finnes mange metoder for å løse HJB-likninger, særlig første ordens HJB-likninger. De fleste metodene man benytter i litteraturen er endelig differenser metoder, men det finnes andre typer metoder også. Disse metodene varierer fra veldig enkle metoder med lav orden til meget rafinerte metoder med høy orden. De fleste metodene har fast skrittlengde, men noen metoder har også variabel skrittlengde. Til nå har man klart å vise at de "enkle" metodene konvergerer (mot en viskositetsløsning). For de mer avanserte metodene er dette spørsmålet åpent, selv om numeriske eksperimenter tyder på at svaret er ja her også, i allefall for noen problemer.

• 6. Denne oppgaven går ut på å implementere, teste og sammenlikne forskjellige metoder for første ordens HJB-likninger i f.eks. matlab. Man kan f.eks.:
  • Sammenligne metoder med fast og variabel skrittlengde (med regulære og irregulære grid).
  • Sammenligne høyere ordens metoder og lavere ordens metoder.
  • Sammenligne såkalte kontrollmetoder og enkle endelig differanse metoder.
  Dessuten kan man se på:
  • Konvergensraten til metodene. Her er det interessant å se om man oppnår den formelle raten (som følger fra Taylorutvikling hvis løsningene er glatte). Klarer du å lage eksempler mer lavere rate enn den formelle? Klarer du å lage eksempler der raten er så lav som 1/2?
  • Konvergensen til metodene. Konvergerer en høyere ordens metodene mot samme løsning som en lavere ordens metode? Kan du finne moteksempler?

• 7. Denne oppgaven går ut på å implementere, teste og sammenlikne forskjellige metoder for utvalgte andre ordens HJB-likninger i f.eks. matlab. Her er det et åpent problem hva som er den beste konvergensraten for metodene. Ellers er problemstillingene som i oppgaven over. Merk: Teorien for andre ordens likninger er vanskeligere enn teorien for første ordens likninger.

• 8. Asymptotisk høyere ordens metoder. Dette er en ny type metoder som konvergerer mot rett løsning og vistnok er mer effektive enn de andre metodene som er bevist konvergente. Oppgaven går ut på å teste og sammenlikne disse metodene. Her er det viktig å finne gode test-case. Videre kan en se litt på konvergensteori for slike metoder.

• 9. (Helst diplom) Høyere ordens kontrollmetoder. Oppgaven går ut på å prøve å utlede og teste høyere ordens kontrollmetoder for HJB-likningen. Dette arbeidet vil basere seg på høyere ordens metoder for stokastisk differensiallikniner. Det er også mulig å studere konvergens og orden av slike metoder numerisk og teoretisk.

• 10. (Kun diplom! Teoretisk!) For initialverdiproblemer for føreste ordens HJB-likninger har man vist at såkalte monotone metoder konvergerer uniformt med rate 1/2. Ingen tilsvarende generelle resultater finnes for randverdiproblemer. Oppgaven går ut på å prøve å vise slike resulter for randverdiproblemer som ikke er for vanskelige.

• 11. NY! Diskretisering av randverdiproblemer for 1. ordens HJB likninger, der randverdiene ikke antas i alle punkt på randen. Dette er et spennende og vanskelig problem. Oppgaven går ut på å sette seg inn i problemstillingen, få oversikt over litteraturen og implementere noen metoder. Hvis det blir tid kan en prøve seg på utledning av nye metoder for en type ikke-lokale HJB likninger. Hvis en ønsker kan dette kombineres med teoretiske studier på konvergens av metodene.

Andre oppgaver:

• 13. Integro-PDEer: Diffusjonslikninger er likninger som modellerer makroskopiske diffusjonsfenomener i fysikken, og det enkleste eksemplet er varmelikningen (en lineær likning!). Det finnes mange andre diffusjonslikninger, og en variant oppstår ved å bytte ut den 2. deriverte med et integralledd (likningen er en lineær integro-PDE). Mulige oppgaver her er å studere eksistens og entydighet av klassiske løsninger av slike likninger. Ikke-lineære varianter kan også studeres hvis det blir nok tid.

  Merk: Å erstatte den 2. deriverte med et integralledd er veldig naturlig fra et fysisk ståsted. Den "underliggende" mikroskopiske modellen for varmelikningen er basert på Brownsk bevegelse eller "virrevanding". Banen til en partikkel som "virrevandrer" er kontinuerlig (men ikke deriverbar i noe punkt!). Hvis en tillater at partiklene kan ha diskontinuerlige baner - dvs. at de kan "hoppe" fra et punkt til et annet - da vil den makroskopiske diffusjonslikingen bli en integro-PDE som beskrevet over.

• 14. Integro-PDEer - numerikk: Dette er felt som er meget populært for tiden pga. mange anvendelser (bl.a. i finans). Oppgaven går ut på å få oversikt over og teste ut (en del av) de numeriske metodene som finnes for å løse slike problemer.

  NY! Se også prosjektsiden til Integro-PDEs: Numerical methods, Analysis, and Applications to Finance.

Forkunskaper:

TMA4305 Partielle differensialligninger og/eller TMA4220 Num Part Diff Elem.

De som vil gjøre teoretiske oppgaver kan ha stor nytte av kurset TMA4225 Analysens Grunnlag.