MATEMATISK MODELLERING I PRAKSIS

Matematikk slik den praktiseres ute i industrien og på FoU-institutter avviker på mange måter fra matematikk som akademisk disiplin. Først og fremst er industriell matematikk utpreget målrettet, der en går inn med alle teknikker som en behersker for å løse eller få innsikt i en problemstilling. Problemstillingen er dessuten generelt tverrfaglig, i alle fall vil det praktisk talt aldri være slik at problemene kommer ferdigformulert med en smart og enkel løsning, slik vi kjenner det fra matematikkursene.

I 1995 gjorde en gruppe fra Society of Industrial and Applied Mathematics (SIAM) en undersøkelse av industrielle matematikere i privat og offentlig sektor. Både matematikerne selv og deres sjefer ble spurt om hvordan de vurderte utdannelsen og situasjonen. En revidert utgave av gruppens rapport er tilgjengelig på http://www.siam.org/about/mii/report.php, og noen av konklusjonene som kom fram var:

The overwhelmingly interdisciplinary nature of nonacademic mathematics has obvious implications about the work environment for mathematicians in industry and government, as well as about qualities considered desirable by employers; these provide the focus of our second set of findings.

Some of the most important traits in nonacademic mathematicians include

skill in formulating, modelling, and solving problems from diverse and changing areas;
interest in, knowledge of, and flexibility across applications;
knowledge of and experience with computation;
communication skills, spoken and written;
adeptness at working with colleagues (‘’teamwork’').

The qualities that distinguish these mathematicians from other scientists and engineers are seen by their managers as falling into two broad categories:

highly developed skills in abstraction, analysis of underlying structures, and logical thinking;
expertise with the best tools for formulating and solving problems.

Hele rapporten anbefales. Den kan gi dere en forståelse av deres egen situasjon og hva det vil si å være industriell matematiker i et globalt arbeidsmarked.

Grovt sagt består industriell matematikk i å absorbere, modellere, analysere og kommunisere:

Absorbere: Det dreier seg om å forstå problemstillingen. Typisk vil problemet bli meddelt i et ikke-matematisk språk, vagt og ufullstendig, og ofte med uttrykk og vendinger som er spesifikke for fagområdet. I denne fasen vil matematikeren ofte føle seg/bli beskyldt for å være både treg i oppfatningen og det som verre er, men dette må en bite i seg og ikke gi opp før en har fått maksimalt med informasjon ut av problemstillerne.

I matematisk modellering har vi lært en del teknikker som en godt kan konfrontere problemstillerne med. Er de i stand til å gjøre formlene dimensjonsløse, og framfor alt, vet de hvilke skalaer problemet har? I SIAM-rapporten er dette faktisk kommentert: Noen av lederne mente at en ikke alltid fikk så mye hjelp av matematikerne, men de var flinke til å stille de riktige spørsmålene!

I dag vil en vesentlig del av denne fasen dreie seg om å finne relevant og pålitelig informasjon på Internett.

Modellere: For å modellere må en forstå hva som foregår og oversette dette til en matematisk form. Dimensjonsanalyse, skalering og bevarelsesprinsipper er generelle teknikker som hjelper oss med dette. Modelleringen er ofte iterativ, med mye prøving og feiling.

Analysere: Kvalitativ analyse av modellene, ofte ved hjelp av perturbasjonsteori og geometrisk analyse av ligningene. I dag er dessuten muligheten til å eksperimentere på datamaskin viktig. Selvfølgelig kan en ikke uten videre generalisere ting som en da observerer. I neste omgang vil det ofte være behov for omfattende numeriske løsninger ("computational science/engineering") for de fleste problemstillinger en møter i praksis. Men det er helt nødvendig med en grundig modellering og analyse før en setter gang det omfattende arbeidet det er å sette opp en storskala numerisk beregning.

Kommunisere: Etter modelleringen og analysen skal resultatet meddeles oppdragsgiverne. Dette er generelt ikke matematikere, og matematikeren må innse at den tradisjonelle framstillingen som benyttes i en vitenskapelige avhandling/artikkel er ubrukelig i så måte (Noe helt annet er det naturligvis hvis problemet er matematisk interessant og en skriver en vitenskapelig utredning som henvender seg til kolleger). Men når dette er sagt, kan det også legges til at en godt kan ta med seg den presise og logiske framstillingsmåten som brukes i matematikk, selv om en reduserer på abstraksjonsnivået.

ARBEIDSFORMEN I SEMINARET

I modelleringsseminarene vil vi så langt det går prøve å skape en situasjon som er typisk for praktisk modellering, men erfaringen fra de siste årene har vist at siden dette er temmelig uvant for dere, og ikke rent lite frustrerende. Det er heller ikke helt enkelt å komme skikkelig i gang. Derfor, og siden varigheten på seminaret bare er 2 uker, vil vi gi dere noe mer føringer. Likevel vil dere finne at situasjonen avviker på vesentlige punkter fra det en er vant med fra vanlige øvings- og eksamensoppgaver:

• Oppgavene er vagt og ufullstendig formulert, og vi har med hensikt ikke gjennomarbeidet stoffet på forhånd

• Det er ikke snakk om å komme fram til et endelig og avsluttende svar.

• Det er lov å mislykkes så lenge en gjør et ærlig forsøk og ikke dekker over hva som har foregått.

• Det er lov å diskutere på tvers av gruppene og bruke litteratur og annet stoff som en kommer over. I så fall må en naturligvis være nøye med å angi kildene, og det er utilgivelig å kopiere kildene (for eksempel stoff fra Internett) uten fullt ut å forstå hva som står!

Prosjektarbeidet skal resultere i en rapport. Rapporten skal skrives som et arbeidsnotat til faglig overordnede som ønsker å få oversikt over hva dere har kommer fram til i løpet av undersøkelsen. Dermed vil leseren normalt være omlag en overingeniør på siv.ing.-nivå (eller i år, en biolog!), med de matematikk-kunnskapene dette innebærer. Det er viktig å legge merke til at rapporten er i form av et arbeidsnotat. Den skal derfor være mer uformell og mindre gjennomarbeidet enn for eksempel en ferdig prosjektrapport, og langt mindre formell enn en vitenskapelig publikasjon (Overdreven stringenthet og perfekthet i et slikt notat vil fortelle overordnede at vedkommende høyst sannsynlig er en pedant som bruker altfor mange timer på uvesentlige detaljer og aldri blir i stand til å gjøre prosjektene ferdig innenfor rammene!). I rapporten skal en legge vekt på:

• Å beskrive problemet slik en har forstått det

• Stille opp og diskutere forutsetningene

• Meddele på en forståelig, logisk og ærlig måte hva en har kommet fram til

Gruppen vil som helhet få karakter på rapporten. Karakteren vil baseres på punktene ovenfor og teller 25% i den endelige karakteren i faget. Innholdet er viktigere enn vakker lay-out, men språk og presisjonsnivå må være godt. Fleip er aldri spesielt positivt i slike sammenhenger. Heller ikke avskrift uten kilder og forsøk på å føre leseren bak lyset.

Rapporten kan være på 5 - 10 sider, men det er ingen absolutte grenser. Det er opp til hver enkelt i gruppen om de skriver rapporten på data eller for hånd, og det er ikke noe krav om at hele rapporten skal skrives på samme måte. Hvis rapporten består av isolerte deler (egentlig ikke å anbefale!), skal den innledes med en felles oversikt.

Det er opp til gruppen selv å organisere arbeidet, samt hvor mye dere veiledning dere vil ha. Dere vil få flere oppgaveskisser, og vi vil sette pris på at dere sprer dere på forskjellig problemstillinger.

Det er viktig å benytte de generelle modelleringsteknikkene som vi har lært i kurset, f.eks.:

Alle ligninger bør skaleres, og det kan være tilfeller der dette kan gjøres på flere måter.
En bør kunne forklare betydningen av dimensjonsløse parametre.
Det er alltid lurt å dele problemet opp i deler som først analyseres hver for seg.
Tilfeller der de dimensjonsløse parametrene er små (eller store) kan studeres ved hjelp av perturbasjonsteknikk.

Vi forutsetter at alle gruppene behersker MATLAB i tilstrekkelig grad. Gruppene kan godt utveksle programmer seg i mellom, men må da angi hvor koden er hentet i fra.

I seminaret vil det ikke kreves kunnskaper i partielle differensialligninger utover grunnkursene og det vi har vært igjennom i kurset, men det er naturligvis ikke noe forbud mot å bruke mer avanserte metoder eller numeriske løsninger.

Det fins enormt mange bøker og artikler om temaet vi tar opp i år, og her forventes det at en benytter de muligheter som fins til å søke både i Bibsys og på Internett. Det er da en fare for at en blir så opptatt av å lete etter stoff at en ikke får gjort noe på egen hånd, men dette er noe en må lære seg å unngå jo før jo heller.

Det er ikke nødvendig å gjengi innholdet i notatene som vi har delt ut, men det er ikke noe forbud mot å kopiere figurer eller formler.

På slutten av seminaret skal alle gruppene presentere arbeidet sitt på en forelesning.

Vi foreslår at hver gruppe lager

fire-fem transparenter som beskriver det som gruppen anser som sitt viktigste og mest interessante bidrag i seminaret!

Dette skal en eller flere representanter for hver gruppe presentere under oppsummeringen som vi skal ha fredag 16. november. Presentasjonen må ikke ta mer enn 10 minutter.

Rapporten fra seminaret leveres på Inst. kontoret senest fredag 16. november før kl. 1545 (stengetid).

Lykke til!