Diplomoppgaver Helge Holden
Norges teknisk-
naturvitenskapelige universitet
NTNU |
Institutt for
matematiske
fag |
Prosjekt og diplomoppgaver tilbudt av
Helge Holden
Numerisk løsning av ikkelineære partielle differensialligninger
Over det siste tiåret er det studert en rekke ikkelineære partielle
differensialligninger. Spesiell vekt har vært lagt på hyperbolske
konserveringslover som bl.a. uttrykker massebevaring i kontinuerlige
mekaniske systemer. En hovedteknikk har vært frontfølgingsmetoden.
En rekke anvendelser har vært studert. Figuren nedenfor viser et sjokk som kommer inn fra
venstre og treffer en gassboble med lavere tetthet.
En rekke oppgaver er her mulig med varierende fokus hva angår
vanskelighetsgrad og bruken av numeriske hjelpemidler.
Oppgaver
- Overflatebølger. Oppgaven går ut på å studere
overflatebølger i vann, og å utlede ligningene som beskriver
dem. Deretter skal man studere ulike regimer av ligninger (basert
på forholdet mellom bølgehøyde og vanndybde) og utlede de vanlige
ligningene for overflatebølger på vann,
f.eks. gruntvannsligningene, KdV ligningene, dybvannsligningene
samt Camassa-Holm ligningene. Dimensjonsanalyse fra kurset
Matematisk modellering er nyttig her.
- Bølger mot en strand. Bølger som bryter og slår mot en
strand er et komplisert fenomen. Oppgaven går ut på å gjøre et
litteraturstudium av fenomenet og programmere og utteste ulike
numeriske metoder.
- Gasstrøm i rør. En viktig anvendelse er å kunne
modellere gasstrøm i rør. Fordelen er at modellene ofte kan
tilnærmes som endimensjonale, og det gjør både den matematiske og
numeriske behandlingen enklere.
- Trafikkmodellering. En vanlig modell for tett trafikk er
hyperbolske konserveringslover (et vanlig eksempel, f.eks. i
Matematisk modellering). Dette kan utvides til en modell som
gjelder et nett av veier, f.eks. i en bykjerne. Oppgaven går ut
på å lage et simuleringsverktøy for en matematisk modell i dette
tilfellet.
- Frontfølger. Det er utviklet flere
frontfølgingsimplementasjoner, se f.eks. Holden and Risebro:
"Front Tracking for Hyperbolic Conservation Laws" for å løse
hyperbolske konserveringslover. Felles for
disse er at det må lages en Riemann-løser for den konkrete
ligningen som skal løses. Oppgaven går ut på å lage en slik
Riemann-løser for ulike ligninger.
En spesiell differensialligning
Betrakt differensialligningen
der n er et naturlig tall. Dette er en enkel, lineær partiell differensialligning. For n=1 er det bare vanlig
transportligning, for n=2 er det den velkjente varmeledningsligningen, men for n=3
begynner det å bli vanskelig.
Oppgave
|
