Prosjekt og hovedoppgaver
tilbudt av Kari Hag

Kompleks iterasjonsteori: Newtons metode

Generelt/teoretisk tilnærming

Newtons metode er en av de første numeriske metodene vi møter. Som regel gis det ingen oppskrift for å velge startverdier - ``vi velger en i nærheten av en rot''. Så det aller første som bør gjøres er å se på det reelle tilfellet. Er metoden triviell her? Det vil si: er det mulig å forutse hvilke startverdier som konvergerer mot bestemte røtter?

Hva med samspillet mellom røtter og kritiske punkt? Dette får spesielt stor betydning her. Når man itererer en rasjonal funksjon har de kritiske banene spesielt mye å si for ``dynamikken''. Samtidig vil et kritisk punkt for et polynom gi en pol for den tilsvarende Newton-funksjonen. Lucas' teorem sier noe om sammenhengen mellom kritiske punkt og røtter til polynomer. Hva skjer her?

Ellers, de som virkelig har is i magen kan jo se på parameterrom. En reell parameter i polynomet, en kompleks parameter? ``Orbit''-diagrammer? Om det er for vanskelig å forstå matematikken går det an å skrive litt om, og regne litt på, hvordan Newton-funksjonene blir seende ut. I hvert fall som en begynnelse.

Eksperimenter: bilder og numerikk

De databildene man får ut av å iterere Newtons metode er veldige fine å se på. Dere har sett dem før, men det må da være artig å kunne lage slike selv, og så forklare hvorfor de blir slik? Jeg skulle gjerne vært i stand til det! Det finnes mange programmer rundt omkring som tegner slike bilder, men hvordan kan man lage et? Da må man forstå matematikken! Og motsatt: en kan lære mye matematikk ved å lage et slikt program. Noen bilder viser til og med hvordan det hele ser ut på riemannkula. Dette blir muligens en oppgave i visualisering, men hvorfor ikke? Det er jo i bunn og grunn endel matematikk (geometri) i det også.

Historikk

Newtons metode er veldig gammel. Dermed burde den ha en interessant historie. Historien er i hvert fall lang. Jeg tror Cayley var den første som prøvde seg på Newtons metode med komplekse tall. Dette er ganske interessant: Han begynte å iterere rasjonale funksjoner uten å ha noe maskineri til rådighet: ingen normale familier, få fikspunktteoremer, ingen Schrøders funksjonalligning etc. Og han oppdaget at det hele ble ganske kaotisk og vanskelig. Var han en av de første ``kaosteoretikerne''? Dette var bare en ide - det er jo muligheter for mange slags ``personligheter'' med et slikt prosjekt.

Referanser

I tillegg til noen av de ``vanskelige'' artiklene/ bøkene om iterasjon står det jo mye om Newtons metode i ``The Beauty of Fractals'', og de andre bøkene til Saupe, Peitgen, Richter etc.

Gruppestørrelse: Prosjektet kan være individuelt eller i grupper.

En anvendelse av kvasikonforme avbildninger i medisin

Bakgrunnen for denne oppgaven er som følger.

``The cortex of the human brain is a highly convoluted surface with folds and fissures which vary in size and position from one person to another. This fact has made it difficult for medical researchers to analyze and compare functional regions of the brain since regions of activation which appear close together may be quite far apart when measured on the cortical surface. However, the surface representing the cortical grey matter is topologically equivalent to a two dimensional sheet S in R³ and hence neurologists would like to be able to unfold the brain's complicated geometry of bulges onto a flat set in R².

A number of computational tools have been developed to take advantage of this surface based approach. It is impossible to flatten the curved surface S without metric and areal distortion. On the other hand, the Riemann mapping theorem implies the existence of a conformal mapping f of S onto a set in R² which preserves angular information.''

En gruppe forskere i Florida bruker såkalt ``circle packing'' til å finne en diskret approksimasjon til f som vil avbilde S kvasikonformt på en plan mengde med begrenset forvrengning av vinkler.

Referanser