UKE 42

Jeg har laget notater (PS, PDF) for denne uken som dere kan se på.

Første forelesning

Vi begynte å snakke om Taylor-polynomet forrige uke. Vi repeterer dette og forsetter med

• Taylors formel med restledd
• Taylor-rekker
• Integral-testen for rekker med positive og avtagende ledd

Andre forelesning

Vi gjør ferdig kap 11.5 om integraltesten og kap. 11.6. Om vi rekker sier vi også noe om 11.7.

Forbered dere ved å se igjennom aktuelle kapitler. Se også notat ovenfor.

Øving

Fortsatt lite innspill fra dere. Jeg gjennomgår oppgavene nedenfor i første time. I andre time begynner vi med QUIZ, ca 25 min, og ser på løsningene til slutt.

Til første time, forbered dere ved å se på oppgavene på forhånd.

• 6.5: 29 (side 405) Gitt i øving 7
• 7MP:65 (side 474) Gitt i øving 7
• Eksempel på å sette opp diff. likning: Forskere har i flere år foretatt tellinger av en hvalart og har utfra tellingene lagt fram forslag til fangstkvoter. Dersom forslaget blir fulgt, vil hvalbestenden ved tidspunktet t etter fangststart endre seg med en rate som er proporsjonal med produktet av hvalbestanden P(t) og e^-at, hvor a er en positiv konstant. a) Skriv opp differensialligningen som hvalbestanden P(t) oppfyller etter at fangsten har startet, og løs denne med initialbetingelsen P(0)=P₀. b) Vis at når t går mot uendelig, så går bestanden mot en konstant.
• Taylor-rekke med restledd og feilestimat. Eksempel 3.3 i notatene. (f(x)=(1+x)^1/2). Jeg snakker litt om feilestimater, Se Teorem 4.3 i notatene.
• Bruk Taylors formel med restledd for e^x med n=2 og a=0 for å finne en formel for f(x)=e^-x2. Bruk dette så til å tilnærme integralet av f fra 0 til 1. (Hint: Integrer hvert ledd til polynomet.) Hvor god tilnærming gir dette? (Hint: Finn estimater som begrenser integralet av restleddet.) En annen måte å tilnærme et integral på, er å bruke Simpsons metode. Gjør dette med n=4 intervaller. Hvor god er denne tilnærmingen?