Prosjekter/masteroppgaver i partielle differensialligninger og reell og harmonisk analyse gitt av Sigmund Selberg
1	”Hypo-elliptisitet” mhp. tidsvariabelen t for Klein-Gordon-ligningen Her er u =u(t,x) en funksjon av tiden t i R og en romvariabel x i R^n. Oppgaven involverer distribusjonsteori (tempererte distribusjoner) og Fouriertransformasjon i t og x. Det er relativt greit å vise (f.eks. ved Fouriertransformasjon i romvariabelen) at initialverdiproblemet (A), med initialdata for u og ut ved tiden t=0, har en entydig løsning. F.eks. er det nok at initialdataene er tempererte distribusjoner. Da er løsningen en glatt funksjon av tiden t inn i rommet av tempererte distribusjoner i romvariabelen x, eller med symboler: Spesielt betyr dette at u er en temperert distribusjon i både t og x: Det motsatte er imidlertid langt fra opplagt, nemlig at hvis u oppfyller (C) og (A), så er u glatt i tidsvariabelen t, dvs. at (B) er oppfylt. Oppgaven går ut på å gi et detaljert bevis for dette.
2	Svak kompakthet i L^p-rom. Oppgaven går ut på å studere svake topologier på L^p-rom, samt kriterier for svak (relativ) kompakthet av følger i slike rom. Slike kompakthetskriterier er av stor betydning i analyse av ikke-lineære partielle differensialligninger. Et mye brukt resultat er f.eks. Dunford-Pettis’ teorem, som karakteriserer svak (relativ) kompakthet i L^1. Teoremet sier at en følge {fj} i L^1 har en svakt konvergent delfølge hvis og bare hvis følgende kriterier er oppfylt: følgen er uniformt begrenset i L^1-norm følgen ”konsentrerer” seg ikke følgen er ”kompakt i uendelig” Den presise formuleringen av disse betingelsene har vi utelatt her. Oppgaven kan f.eks. gå ut på å gi et detaljert bevis for dette teoremet. Dette gir god øvelse i bruk av metoder fra målteorien.
3	Sobolevulikheter. I analyse av ikke-lineære partielle differensialligninger har man ofte bruk for Sobolevulikheter for produkter av funksjoner. F.eks. er det lett å vise at Her lar vi H^s betegne Sobolev-rommet av funksjoner som har s deriverte i L^2. Mer generelt går det an å vise at for alle reelle tall s > 0. Men dette er ikke fullt så enkelt. Enda mer generell er den såkalte Moser-ulikheten, som sier at gitt en glatt funksjon f av en reell variabel, slik at f(0) = 0, så finnes for enhver s > 0 en kontinuerlig funksjon gs slik at Oppgaven kan å ut på å presentere beviser for noen av ulikhetene over, og evt. sammenligne ulike beviser (det finnes flere måter å gå frem på). F.eks. går det an å bruke Littlewood-Paley-teori, som er et sentralt verktøy i harmonisk analyse.
4	Lokal eksistens og entydighet for ikke-lineære hyperbolske differensialligninger. Dette er delvis en anvendelse av foregående prosjekt (Sobolevulikheter). F.eks. kan man se på den semi-lineære bølgeligningen der f er en gitt glatt funksjon av flere variable, med f(0) = 0. Poenget er å vise at initialverdiproblemet for denne ligningen med initialdata i et Sobolevrom H^s for tilstrekkelig stor s > 0 har en entydig bestemt løsning i et (muligens kort) tidsintervall [0,T). Dessuten er løsningen glatt hvis dataene er glatte.
5	Restriksjonsproblemet for Fouriertransformen. Dette problemet kan formuleres ganske generelt som følger: Vi er gitt en glatt flate S i rommet, og vi betrakter Fouriertransformasjonen Vi definerer en operator R som til en funksjon f(x) i Schwartz-klassen tilordner dens Fouriertransformerte, restriktert til flaten S: Spørsmålet er nå: For hvilke p har R en utvidelse til en begrenset lineær operator der det siste L^2-rommet er mhp. flatemålet på S. Dette er ekvivalent med at vi har en ulikhet Det er ganske lett å se at dette alltid holder for p = 1, mens det aldri kan holde for p = 2. Målet er selvsagt å finne det optimale intervallet av p-er slik at ulikheten over holder. Hvis f.eks. S er et plan, så er kun p = 1 mulig. Krumningen til flaten S spiller altså en rolle. En mulighet er å ta for seg tilfellet der flaten S er den vanlige kuleflaten i rommet. Da har man som et spesialtilfelle av et teorem bevist av Stein og Tomas, at ulikheten over holder hvis og bare hvis p ligger i intervallet [1,4/3]. Oppgaven kan f.eks. gå ut på å bevise dette resultatet.
6	Globale løsninger av ikke-lineære partielle differensialligninger av typen under antagelsen som sikrer at ”energien” er positiv. Dette er et litt større prosjekt som kan egne seg for en masteroppgave. Ideen er å først vise global eksistens av løsninger med ”endelig energi”, under visse tilleggsbetingelser på f (skranker på veksten i uendelig). Spesielt gir dette globale klassiske løsninger for glatte initialdata med endelig energi. Deretter kan man bruke dette til å vise eksistens av svake løsninger (med ”endelig energi”) uten tilleggsbetingelser på f. Ideen er å approksimere f med en følge fj av funksjoner som oppfyller tilleggsbetingelsene, og som derfor gir globale løsninger uj. Så viser man at denne følgen av løsninger har en svak grense u, og det gjelder da å vise at denne løser den opprinnelige ligningen. I dette siste trinnet kommer man borti litt målteori/integrasjonsteori. Denne type argument for å vise eksistens av globale svake løsninger er svært mye brukt innen ikke-lineære PDE.