ukeoppgaver

Ukeoppgaver for MAT 1030 våren 2006 :

Hver uke gies det et sett med oppgaver relatert stoffet som gjennomgåes i løpet av uka. Settet legges ut her på hjemmesiden på onsdager/torsdager .
Et passende utvalg av disse oppgavene vil bli gjennomgått av Ingrid Seem på plenumsregneøvelsen onsdag i den påfølgende uka. Si gjerne ifra til henne hvilke oppgaver som ønskes forklart.

Det er helt avgjørende at dere selv regner, eller prøver å regne, flest mulig av disse oppgavene før plenumsgjennomgange og før dere ser på løsningskissen bakerst i boka.
Det vil som regel bli gitt et par ekstraoppgaver hver uke som ikke er hentet fra boka, der løsningen vil kun bli gitt på plenumsregningene.

Oppgaver til torsdag 08.06 (i forelesningstiden)

Det blir da gjennomgang av Prøveeksamen fra MAT1030, våren 2005 (tilgjengelig på
hjemmesiden), samt det som måtte stå igjen fra tidligere.

Oppgaver til onsdag 07.06

Det blir da gjennomgang av :

Oppg. 5 fra Eksamen i MAT 008, vår 2005
Oppg. 3 fra Eksamen i MAT1030, høsten 2003
Oppg. 2, 3 og 4 fra Eksamen i MAT 008, vår 2005
Oppg. 6 fra Eksamen i MAT 008, høsten 2003

Oppgaver til torsdag 01.06 (i forelesningstiden)

Det blir da gjennomgang av oppgavesettet med repetisjonsoppgaver som ble delt ut på faglig sosial ettermiddag mandag 29.05 (også tilgjengelige på
hjemmesiden).

Vi vil også gå gjennom Oppgave 2 b) fra eksamen i MA 108, vår 2000 som fremdeles står igjen fra 22.05.

Oppgaver til onsdag 31.05

Hele oppgavesettet fra Eksamen i MAT 1030, våren 2005.

Dessuten blir gjennomgang av eventuelle punkter fra Oblig 2 som trenger å utdypes utover det som står i løsningsforslaget som er lagt ut. Send gjerne en e-post til Ingrid Seem (iseem at student.matnat.uio.no) innen 30.05 dersom det er spesielle punkter du ønsker hun skal gjennomgå.

Skulle det bli noe tid til overs kan dere regne videre på repetisjonsoppgavene fra faglig sosial ettermiddag mandag 29.05.

Oppgaver til onsdag 24.05

Fra Grossman, kapittel 12 : oppgavene 21 a) c), 22.

Oppgavene 1, 2 og 4 fra Eksamen i MAT 1030, høsten 2003.

Oppgavene 3 og 5 fra Eksamen i MAT 1030, høsten 2004.

Oppgaver til mandag 22.05 (gjennomgåes i forelesningstiden)

Fra Grossman, kapittel 12 : oppgavene 2, 4, 5, 6 a) c), 8 a) b), 9, 10, 11, 14, 15

Dessuten gjennomgåes Oppgave 2 a) og b) fra eksamen i MA 108, vår 2000 som står igjen fra den 10.05.

Oppgaver til onsdag 10.05

Fra Grossman, kapittel 11 : oppgavene 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13

Ekstraoppgave 1 : Oppgave 2 a) og b) fra eksamen i MA 108, vår 2000

Ekstraoppgave 2 : Oppgave 4 fra eksamen i MA 108, vår 2000

Oppgaver til onsdag 03.05

Fra Grossman, kapittel 10 : oppgavene 15, 17, 18, 19

Fra Grossman, kapittel 11 : oppgavene 1, 2, 3, 4

Ekstraoppgave 1 : En graf kalles minimal sammenhengende dersom den er sammenhengende og dersom man bare fjerner en kant fra grafen så blir grafen som da oppstår usammenhengende. Vi har sett på forelesning at et tre har denne egenskapen. Vis det omvendte, dvs at en minimal sammenhengende graf er et tre.

Ekstraoppgave 2 : En graf kalles maksimal syklusfri dersom den er uten sykluser og dersom man bare legger til en kant mellom to noder så vil den utvidede grafen
ha en syklus. Vis at en graf er maskimal syklusfri hvis og bare hvis den er et tre.

Ekstraopgave 3 : Oppgave 2 fra eksamen i MA 108, vår 1999 (se lenke under Oppgaver på hjemmesiden).

Onsdag 26.04 er det ingen vanlig plenumsregning : det blir da orakeltjeneste istedet med tanke på Oblig 2.

Oppgaver til onsdag 19.04

Fra Grossman, kapittel 10 : oppgavene 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11a), 12a), 13, 14

Ekstraoppgave : Hvor mange 8-bits strenger finnes det som inneholder minst to 0-ere etter hverandre ?
(Denne oppgaven ble lagt ut til onsdag 05.04; den har ikke noe sammenheng med grafteori !).

Oppgaver til onsdag 05.04

Fra Grossman, kapittel 7 : oppgavene 25, 26, 28, 29

Fra Grossman, kapittel 9 : oppgavene 2, 4, 6, 8, 10, 11, 14, 15, 19, 20

Ekstraoppgave 1 : I en matbutikk henger 10 pakker med morrpølse, og 3 av disse er bakterieinfiserte. Du har tenkt å kjøpe 4 pakker. Hva er sannsynlighten for at minst en av pakkene du kjøper er infisert ? (du da må regne ut hvor mange måter du kan velge 4 pakker fra de 10 der minst en av de fire er infisert og dele dette tallet på det totale antall måter du kan velge 4 pakker blandt de 10).

Ekstraoppgave 2 : Hvor mange 8-bits strenger finnes det som inneholder minst to 0-ere etter hverandre ? (Denne er litt krevende, så vi tar løsningen etter Påske så dere har noe tid å tenke på den).

Oppgaver til onsdag 29.03

Først vil oppgavene som gjensto fra sist (16.03) bli gjennomgått. Deretter vil enkelte av delpunktene fra Oblig 1 bli gjennomgått/kommentert. (Løsningskisse for Oblig 1 vil lagt ut torsdag 30.03 på hjemmesiden).

Ellers anbefales de som vil repetere litt å prøve seg på midtveiseksamen fra ifjor, den er tilgjengelig på hjemmesiden under Oppgaver. Fasit for disse flervalgsoppgavene vil bli gitt på plenumsregningen.

Oppgaver til torsdag 16.03 (i forelesningstiden 10.15-12)

(i stedet for plenumsregningen onsd. 15.03 som er avlyst pga Fagkritisk Dag)

Fra Grossman, kapittel 6 : oppgavene 6, 10

Fra Grossman, kapittel 7 : oppgavene 2, 6, 7, 9, 12 b) d), 15, 17 b), 20, 21 a), 22 b), 23 a) b) e)

Ingen ekstraoppgave denne gangen, det er flere oppgaver uten fasit/løsningsskisse.

Oppgaver til onsdag 08.03

Fra Grossman, kapittel 5 : oppgavene 19 a) c) e) f), 20 a) c) e) f), 21

Fra Grossman, kapittel 6 : oppgavene 2 a) b) c), 3, 4, 5 d) e) f) g), 9, 11

Ekstraoppgave : Vi definerer en relasjon R på mengden av de reelle tallene ved at xRy betyr at y-x er et helt tall.

i) Sjekk at R er en ekvivalens relasjon og beskriv ekvivalensklassene.

ii) La X bestå av de reelle tallene som er ikke-negative og mindre enn 1. La Y være mengden der elementene er ekvivalensklassene til R. Definerer en funskjon f : X -> Y ved f(x) = ekvivalensklassen til x. Begrunn at f er 1-1 og på.

Oppgaver til onsdag 01.03

Fra Grossman, kapittel 5 : oppgavene 4, 6, 7, 9, 11, 12, 15, 16, 18 a) c) e) f)

Ingen ekstraoppgaver denne uken pga Oblig 1.

Oppgaver til onsdag 22.02

Fra Grossman, kapittel 4 : oppgavene 18, 19, 21 b) c) e), 23 b) c), 25, 26

Fra Grossman, kapittel 5 : oppgavene 1, 2, 3

Ingen ekstraoppgaver denne uken pga Oblig 1 (som blir lagt ut i løpet av fredag 17.02).

Oppgaver til onsdag 15.02

Fra Grossman, kapittel 4 : oppgavene 2, 3, 5, 6 a d), 9 b), 10 b) d), 12, 13 b) c), 15, 16

Ekstraoppgave 1 : Bruk passende logiske lover for logiske uttrykk til å vise at

                                 a) [ (p —> q) og (q —> r) ] —> (p —> r) er en tautologi.

                               b) —| (p <—> q) er log. ekvivalent med p <—> (—| q) . (Her betegner —| negasjon-operatoren).

                                 Sjekk gjerne a) og b) for deg selv ved hjelp av sannhetstabeller hvis du har tid.

Ekstraoppgave 2 (en klassiker -- men kanskje noen har ikke vært borti den før ?!):   På en utenlandsk reise i et eksotiskt strøk blir du kidnappet av en gruppe kannibalere. Blandt disse finnes det bare to typer : de som alltid snakker sant og de som alltid lyver. Kannibalene har bestemt seg for å putte deg i den sorte gryten med mindre du klarer å avgjøre om en utpekt kannibal er av den ene eller den andre typen. Du får lov til å stille nøyaktig ett ja/nei-spørsmål til den utpekte kannibalen. Finn et spørsmål du kan stille slik at du vil kunne avgjøre utifra svaret hvilken type kannibalen er, og dermed unngå å bli kokt i filler.
Kommentar : denne oppgaven er gjengitt slik den står i en samling gåter. Ved nærmere ettertanke er nok teksten over ikke slik den bør være. Oppgaven kan jo løses enkelt (jfr. Rema 1000 - "det enkle er ofte det beste" !). For å gjøre oppgaven noe mer utfordrende bør tekstlinjen "Du får lov til å stille nøyaktig ett ja/nei-spørsmål til den utpekte kannibalen" forandres til "Du får lov til å stille nøyaktig ett ja/nei-spørsmål til en av de andre kannibalene". Oppgaven blir da å finne et spørsmål du kan stille slik at du vil kunne avgjøre utifra svaret hvilken type den utpekte kannibalen er.
Det finnes forøvrig mange andre varianter av denne gåten, men det får vel holde med denne.

Oppgaver til onsdag 08.02

Fra Grossman, kapittel 3 : oppgavene 1, 2, 5, 6, 8, 9, 10, 14, 15

Ekstraoppgave : Vi har sett i kap. 3 hvordan hele tall og reelle tall representeres på en datamaskin ved hjelp av et visst antall bits. Man bør også tenke på hvordan man kommer tilbake til tallene fra disse representasjonene.

1) Anta at maskinen bruker 16 bits til å representere hele tall. Finn hvilket helt tall som er da representert ved

(*) 11010100 10111010

2) Anta at maskinen bruker 16 bits til å representere reelle tall, med 1 bit til fortegnet, 5 bits til eksponenten og 10 bits til mantissen ("signifikanten") i den normaliserte bineære eksponensielle formen. Angi (minst) et reelt tall som da vil være representert ved (*) ovenfor.

Rettelse til del 2) : Beklager så meget, men når jeg henviste til representasjonen (*) tenkte jeg i farten at mantissen kom først og (karakteristikken til eksponenten) etterpå, slik det gjøres når man skriver et tall på eksp. form, og glemte at det var jo omvendt i boka (og sikkert også i datamaskiner )...
Så representasjonen jeg egentlig siktet til var (**) 11101010 10100101.

Alternativt kunne man ha sagt at første 1' er i mantissen var blitt droppet i (*) (siden det alltid vil være en 1'er først i repr. av mantissen), noe som de fleste datamaskiner gjør såvidt jeg forstår, men det var altså ikke det jeg hadde ment.

Oppgaver til onsdag 01.02

Fra Grossman, kapittel 2 : oppgavene 2, 3, 4 d), 5, 7 b) d), 8, 9 b), 10b), 11 b), 12 b) c), 13, 14 b) d) f) h)

Ekstraoppgave : Metodene for å konvertere reelle tall på desimal form over til binær form lar seg overføre til konvertering til andre tallsystemer (slik vi har sett i avsn. 2.4 for oktal/hexadesimal systemene). Velg nå 3 som grunntall og konverter følgende tre desimaltall til 3-tallsystemet :

58 - 0.8 - 67. 25

Adder disse tallene sammen, først ved å bruke vanlig desimalregning, deretter ved å bruke deres utvikling i 3-tallsystemet. Sjekk at svarene stemmer overens (mao at det andre svaret er 3-talls utviklingen av det første svaret).

Oppgaver til onsdag 25.01

Fra Grossman, kapittel 1 : oppgavene 1, 2, 6, 8, 9, 10, 11, 13.

- Kommentar til opp. 8 : ordet "digital root" oversettes som "tverrsum"

- Kommentar til opp. 10 : Svaret som algoritmen gir kalles gjerne "n-fakultetet" og angies ved " n! ". Prøv å beskriv med ord hvordan dette
tallet er definert når et naturlig tall n er oppgitt.

- Ekstraoppgave 1 :
a) Du står ved et vannkran og har til din disposisjon to vannbøter : bøtten A som tar 3 liter og bøtten B som tar 5 liter. Skriv en algoritme som beskriver hvordan man skal gå frem for å fylle opp B med 4 liter vann.
b) Anta nå at bøtten A tar 7 liter mens bøtten B tar 10 liter. Hvilke vannmengder er det da mulig å fylle A eller B med ? (du trenger ikke å skrive ut algoritmene for hver vannmengde du kommer frem til).

-Ekstraoppgave 2 :
a) Lag en tabell som viser verdiene til variablene m, sum og k når følgende algoritme settes i gang med n=6 :

1. Input n { n naturlig tall }
2. k <-- 1 ; m <-- 0 ; sum <-- 0
3. while k<2n do 3. 1 m <-- m + k 3.2 sum <-- sum + m 3.3 k <-- k + 2
4. Output sum.

b) Beskriv med ord hva algoritmen beregner (gir som output) når n er et naturlig tall. Prøv å forklar hva ideen bak algoritmen er.