Foreleser: Dag Normann, Matematisk institutt, rom B 828 NHAs hus, tlf. 22 85 5953, e-post: dnormann@math.uio.no
Eksamensdato er ikke fastlagt.
Lærebok: D. Normann, MA 350 Fast Innhold, kompendium, Matematisk Institutt
Vår utmerkede studiekonsulent, Kristin Amundsen, har vært borte og strammet opp bokhandelen. Det hjalp. Kompendiet er tilgjengelig nå.
Jeg har lagt ut to små notater som utdyper eller forbedrer lærekompendiet på enkelte punkter:
Notat om ω-logikk.
Notat om produkter og Hornklausaler.
Pensum: Hele heftet, notatene lagt ut på nettet pluss omforent individuelt pensum.
Tirsdag 8/4 ble et flertall av de tilstedeværende enige om at vi skal se på rekursjonsteori i den siste delen av semesteret.
Jeg vil basere meg på mine notater til sommerskolen i København fra noen år tilbake.
Jeg har foreløpig lagt ut kapittel 1, som vi i alle fall vil rekke igjennom, og hele kompendiet, som er alt for mye, i postscriptformat. Hvis det er ønskelig, vil jeg legge ut kapittel 2 isolert senere.
Forelesninger tirsdag 10.15 - 12.00, B 62
Første gang 28/1-03
OBS!
Forelesningskatalogen er rettet til "tirsdag".
Tirsdag 27/5
Jeg vil snakke om m-redusibilitet og Turing-redusibilitet.
Jeg antar at vi tar det så rolig at det prioritetsargumentet jeg vil ta med som en del av pensum blir forelest uken etter, det vil si 3/6, som blir siste forelesningsdag.
Tirsdag 20/5
Jeg glemte å skrive inn noe i forkant av den forelesningen også, klager imøtesees.
Vi snakket om r.e. mengder og noen egenskaper ved disse. Vi så spesielt på rekursivt inseparable r.e. mengder og noen konsekvenser av eksistensen av slike.
Tirsdag 13/5
Beklager at jeg glemte å skrive noe inn for denne dagen.
Vi snakket om Kleenes T-predikat og Kleenes normalformteorem. Vi viste S-n-m teoremet og rekursjonsteoremet.
Tirsdag 6/5
Vi starter på rekursjonsteorien. Jeg satser på å nå igjennom avsnitt 1.2 om primitivt rekursive funksjoner, samt oppgavene 1 - 6 fra kapittel 1.
Tirsdag 29/4
Det ser ut til at vi får nok med å se på resten av oppgavene før vi setter i gang med rekursjonsteori.
Tirsdag 8/4
Vi vil gå igjennom oppgavene på sidene 57 - 64 så langt vi rekker før påske.
Oppgavene 1 og 2 har vi gjort på forelesningene.
Jeg snakket litt om oppgave 3 på forelesningene, men den ser vi på på nytt.
Oppgave 7 er en liten algebraisk utfordring.
Notetet om Hornklausaler er relevant i tilknytning til oppgave 8.
Vi setter av litt tid til å snakke om hva vi skal fordype oss mot de siste fire-fem ukene.
Tirsdag 1/4
Hovedsaken blir å gå igjennom bruk av kvantorelininasjonsteoremet til å vise at teorien for algebraisk lukkede kropper av en gitt karakteristikk er komplett.
Vi vil ta med så mange detaljer fra algebra som kreves for at alle skal henge med.
Resten av tiden, og uken etter, vil jeg bruke til å gå igjennom alle oppgavene fra kapitlet om modellteori, i den grad vi ikke allerede har snakket om dem på forelesningen.
Jeg vil også gå igjennom notatet om produkter og Hornklausaler den 8/4.
Etter påske blir det spesialpensum, og 8/4 diskuterer vi hva vi skal satse på der.
Tirsdag 25/3
vil vi se på kvantoreliminasjon, på etablering og bruk.
Hvis vi får tid vil vi se på teorien for algebraisk lukkede kropper av en gitt karakteristikk, og hvordan vi kan bruke kriteriene våre til å vise at denne teorien er komplett.
Vi kommer til å gå igjennom noen av oppgavene i tilknytning til dette stoffet etterhvert.
Tirsdag 18/3
fullførte vi beviset for at elemetært ekvivalente strukturer over et endelig språk uten funksjonstegn er ω-partielt isomorfe.
Videre så vi på et eksempel på en ω-kategorisk teori, teorien for tette ordninger uten største og minste element.
Vi definerte begrepet prim-modell og viste at en teori som har en prim-modell kan avgjøre alle variabelfrie utsagn.
Vi startet på behandlingen av kvantoreliminasjonsteoremet.
Tirsdag 11/3
ble det ikke holdt noen forelesning.
Tirsdag 4/3
snakker vi om elementær ekvivalens og elementære delstrukturer. Jeg har forberedt meg på å snakke frem til og med seksjonen om ω-partielle isomorfier.
Jeg gir et alternativt, og enklere, bevis for teorem 5.9.
Jeg kommer til å ta opp stoff om rettede systemer av første ordens strukturer. Dette står ikke i kompendiet.
Uken etter må jeg avlyse forelesningen. Jeg skal på et heldagseminar om kvalitetsreformen.
Tirsdag 25/2
Vi starter på modellteorien. Vi ser på teorien for kropper, på forskjellen mellom karakteristikk p og karakteristikk 0 og på hva det betyr for hvordan vi kan aksiomatisere utvidelser av kroppteorien.
Videre vil vi gi presise definisjoner av begreper som isomorfi, embedding, delstruktur m.m.
Vi skal minst nå så langt som til Los-Tarskis teorem, vårt første resultat om at det er en sammenheng mellom hvorledes vi kan aksiomatisere en teori og hvilke egenskapen klassen av modeller for teorien har.
Hvis vi får tid, vil vi også se på elementær ekvivalens og elementære delstrukturer.
Tirsdag 18/2
Vi skal se litt mer på den ikke-standard modellen for tallteori vi konstruerte sist.
Deretter gjennomfører vi en tilsvarende konstruksjon for de reelle tallene.
Vi setter av denne tirsdagen til ikke-standard tallteori og analyse, men vil begynne med modell-teorien neste uke hvis ikke presset fra studentmassen om å fortsette med infinitesimalregning blir for stort.
Tirsdag 11/2
Jeg vil starte med å gå igjennom notatet om ω-logikk. Dette er en logikk for en verden hvor de naturlige tallene er å betrakte som gudegitt.
Skolem viste at det er umulig å karakterisere de naturlige tallene i første ordens logikk.
Vi skal bruke kompletthetsteoremet til å vise Skolems resultat, ved at vi skal konstruere en ikke-standard modell for tallteorien.
Dette er en historieforfalskning, ettersom Skolems teorem kom før kompletthetsteoremet.
Tirsdag 4/2
Vi ble enige om at jeg skal vise sammenhengen mellom utvalgsaksiomet, Zorns lemma og vellordningsprinsippet.
Deretter skal jeg vise at ethvert filter kan utvides til et ultrafilter. Vi skal se på dette som en konsekvens av kompletthetsteoremet.
Etter denne eksersisen i naiv mengdelære, skal vi se på ω-logikk, basert på notatet jeg har lagt ut. I dette notatet står det noen oppgaver, og meningen er at studentene skal gjøre disse i etterhånd.
Tirsdag 28/1
Jeg kommer til å repetere første ordens logikk frem til og med beviset for kompletthetsteoremet.
For å vise det generelle kompletthetsteoremet, trenger vi utvalgsaksiomet eller Zorn's lemma. Vi vil diskutere om vi skal gå igjennom det nå eller utsette det til MA 360 til høsten.
For å illustrere hvordan beviset for kompletthetsteoremet virker i en mer generell setting, vil vi denne eller neste gang se på notatet om ω-logikk. Hvis noen har problemer med å skrive det ut, la meg få vite det.
Et spørsmål vi også bør diskutere er: Hvor stor vekt skal vi legge på avsnittet om ikke-standard analyse?.