LØSNING AV JULENØTTEN

Vi måler tiden i timer, lar t = 0 svare til klokken 12, og lar T være tidspunktet da det begynte å snø (T er altså negativ). La x(t) være strekningen den første brøytebilen har tilbakelagt ved tiden t. Siden det snør jevnt, og farten er omvendt proporsjonal med snømengden, må farten være omvendt proporsjonal med tiden det har gått siden snøfallet begynte. Vi har altså x'(t) = c/(t - T) for en konstant c. Det viser seg å være lurere å regne med den omvendte funksjonen t(x) som angir tidspunktet t(x) der brøytebilen har fjernet seg en avstand x fra utgangspunktet. Siden t'(x) = 1/x'(t) (husk setningen om derivert til omvendte funksjoner, 7.4.5), får vi ligningen

der k = 1/c. Løser vi denne differensialligningen (den er både separabel og førsteordens lineær), får vi t(x) = T - Te^kx.

Vi bruker nå det samme argumentet på den andre brøytebilen, og får at hvis s(x) betegner tidspunktet der denne brøytepilen har fjernet seg en avstand x fra utgangspunktet, så er

Dette er en førsteordens lineær differensialligning med løsning s(x) = T + kTx e^kx + (1 - T)e^kx.

Ved tidspunktet 2 befinner de to brøytebilene seg i samme posisjon x = a, dvs

(i) 2 = t(a) = T - Te^ka

(ii) 2 = s(a) = T + kTa e^ka + (1 - T)e^ka

Subtraherer vi de to ligningene, får vi (etter å ha forkortet bort e^ka) ligningen kTa + 1 = 0, som gir ka = -1/T. Setter vi dette inn i (i), sitter vi igjen med ligningen 2 = T - Te^-1/T. Løser vi denne ligningen numerisk, får vi T tilnærmet lik -0.80. Dette betyr at det begynte å snø 0.80 timer før klokken 12, altså klokken 11.12.