EN RASK GJENNOMGANG AV PENSUM

De naturlige tallene er de vi bruker når vi teller: 1, 2, 3, 4,... Det første kapittelet tar opp noen grunnleggende egenskaper ved disse tallene. Stoffet i dette kapittelet får du nok mest bruk for i andre matematikkurs, men seksjon 1.2 gir viktige ideer for informatikk. Seksjon 1.3 og 1.4 er ikke pensum (det meste av 1.3 kjenner du fra 2MX), men det kan være lurt å lese raskt gjennom 1.4 fordi noe av stoffet derfra (særlig binomialsetningen) nevnes en del andre steder i læreboken.

Seksjon 1.1: Denne seksjonen handler egentlig om to ting – dels om primtallsfaktorisering og dels om summetegnet. Primtallsfaktorisering står ikke så sentralt i dette kurset, men det er et emne det er greit å vite litt om fordi det dukker opp så mange andre steder i matematikken (og dessuten vil du møte et lignende tema i seksjon 3.5). Summetegnet er et viktig hjelpemiddel som vi skal bruke mye, og som det er viktig å bli fortrolig med tidlig. Vi skal ikke bruke mye tid på denne seksjonen.

Seksjon 1.2: Denne seksjonen handler om matematisk induksjon, en tenkemåte som står sentralt i matematikken, og som er nært knyttet til løkker i programmering. Dette er viktig stoff som jeg vil legge en del vekt på. Lignende ideer dukker opp senere i kurset, spesielt i kapittel 4.

Seksjon 1.3: Ikke pensum (mesteparten av det som står her er dekket av pensum i videregående skole)

Seksjon 1.4: Vi skal bare gå så vidt innom denne seksjonen. Det er greit å vite hva Pascals trekant og binomialformelen er, men de kommer ikke til å spille noen viktig rolle i dette kurset.

Simon Singh: Fermats siste sats, Aschehoug, Oslo, 1998. En spennende og lettlest bok om løsningen av et av tallteoriens store problemer (se læreboken side 53). En populærvitenskapelige bok som er forståelig for alle. Jeg vil ikke gå 100% god for alle forfatterens historiske utlegninger, men boken er absolutt verd å lese.

Bernt Øksendal: Tall og tallsystem: om tallbegrepets utvikling fram til i dag. Gyldendal, Oslo, 1991, 29 sider. Kortfattet, interessant og lesbart om tallsystemenes utvikling. Litt vanskeligere på de aller siste sidene.

John H. Conway & Richard K. Guy: The book of numbers, Copernicus, New York, 1996, 310 sider. To kjente matematikere skriver om forskjellige klasser av tall. Fascinerende, morsomt og av og til litt vanskelig.

De reelle tallene er de som utgjør tallinjen. I dette kapittelet skal vi se litt på rasjonale og irrasjonale tall, og vi skal møte et viktig prinsipp som heter kompletthetsprinsippet. Ideene du møter i dette kapittelet, gjennomsyrer hele kurset, og de dukker opp på nytt i mange videregående matematikkurs (spesielt MA 134 og MA 232).

Seksjon 2.1: I denne seksjonen er det viktig å merke seg trekantulikheten. Ellers er det mest notasjon vi må bli enige om.

Seksjon 2.2: Her skal vi studere rasjonale og irrasjonale tall (de rasjonale tallene er de som kan skrives som brøker av hele tall, de irrasjonale er de som ikke kan skrives på denne måten). Kanskje litt spissfindig på dette nivået, men jeg ønsker allikevel å gjøre en del ut av dette temaet fordi det er et fint sted å lære litt om matematisk tenkemåte.

Seksjon 2.3: Her treffer vi kompletthetsprinsippet. Logisk sett er det dette prinsippet som får teorien i kurset til å fungere, og vi må forsøke å få litt tak på dette stoffet selv om det kan virke veldig teoretisk. Generaliseringer av kompletthetsbegrepet blir viktig i videregående matematikkurs.Det viktigste her er å forstå hva kompletthetsprinsippet sier, og vi skal ikke grave oss ned i vanskelige oppgaver.

Seksjon 2.4: Her skal vi se litt på aksiomsystemet for reelle tall. Dette er orienteringsstoff, men skal man forstå en del bemerkninger senere i boken, er det greit å vite litt om det.

Helmuth Gericke: Talbegrebets historie, Matematikklærerforeningen, Aarhus, 1996, 208 sider. En lærerik bok om tallbegrepet i både faglig og historiske perspektiv. Grei å lese bortsett fra i noen få, kortere partier der forfatteren blir revet med av sin lærdom.

Ivan Niven: Reelle tall: matematikkens sentrale tallsystem. Cappelen, Oslo, 1967, 162 sider. Dette er en matematikkbok (med definisjoner, teoremer, bevis og alt som er) skrevet for folk som ikke har lest så mye matematikk før. Interessant, velskrevet og pedagogisk, (Dette var den første "skikkelige" matematikkboken jeg leste på egen hånd, og jeg anbefaler den med glede til alle som skal lese sin første matematikkbok!)

Har du noen gang hatt lyst til å ta kvadratroten av minus 1? Etter å ha lest dette kapittelet har du lov! Tall som fremkommer etter at vi har tatt kvadratroten av negative tall, kalles komplekse tall. De er viktige i mange sammenhenger, både i matematikk og i andre fag. Det mest slående eksempelet er kanskje kvantemekanikk (FYS 113/KJ 133) der komplekse tall spiller en helt grunnleggende rolle. De komplekse tallene er også viktige i de mer teknologiske delene av informatikkfaget (f.eks. signalbehandling), og de er et viktig regneverktøy i fag som mekanikk og geofysikk. Innenfor matematikken hjelper de komplekse tallene oss ofte å skape enhet og sammenheng (eksempler på dette får du se i seksjone 3.3, 3.5, 4.1 og 10.4). I videregående vektorregning (det som kalles lineær algebra) spiller komplekse tall en viktig rolle.

Seksjon 3.1: Her regner vi med komplekse tall på en "intuitiv" måte og ser hva slags resultater vi kommer frem til.

Seksjon 3.2: I dette avsnittet lærer vi en geometrisk tolkning av komplekse tall som rettferdiggjør de regnereglene vi fant i forrige seksjon. Det er denne geometriske tolkningen som er grunnlaget for de spennende anvendelsene av komplekse tall.

Seksjon 3.3: Det finnes en mystisk sammenheng mellom eksponentialfunksjonen til komplekse tall og de trigonometriske funksjone sinus og cosinus.

Seksjon 3.4: Her skal vi lære å trekke ut røtter (kvadratrøtter, tredjerøtter osv.) av komplekse tall. Boken gjør ganske mye ut av dette, men vi skal stort sett begrense oss til kvadratrøtter.

Seksjon 3.5: Dette er et teoretisk avsnitt om løsningene til n-te gradsligninger. Det viser seg at om du teller riktig, vil en n-te gradsligning alltid ha nøyaktig n løsninger! Det er viktig å kjenne (og kunne bruke!) noen av resultatene i dette avsnittet, men ellers får vi ta det som orienteringsstoff.

Paul J. Nachin: An imaginary tale. The story of the square root of -1. Princeton University Press, Princeton, 1998. En ganske ny og spennede bok om komplekse tall. Vanskelighetsgraden varierer en del, men det er mye som er lesbart for alle.

Finn Holme: Komplekse tall, Gyldendal, Oslo, 1993, 48 sider. En innføring i komplekse tall med mange morsomme og utfordrende oppgaver.

Torgeir Onstad: Likningenes historie — fra Babel til Abel, NKS fjernundervisning, 1993, 105 sider. Velskrevet og lærerikt om ligningenes historie. Inneholder mye matematikk fra forskjellige tidsaldre. Her kan du for eksempel lære hvordan de italienske renessansematematikerne løste tredje- og fjerdegradsligninger.

Dette kapittelet består egentlig av to deler – seksjonene 4.1-4.2 som handler om differensligninger og seksjon 4.3 som handler om konvergens av følger. Differensligninger er ganske utradisjonelt stoff i et kurs av denne typen, men jeg synes det er gode grunner til å ha det med. Her er noen av dem:

1. Differensligninger illustrer praktisk bruk av komplekse tall
2. Mange studenter synes at følgebegrepet er abstrakt og vanskelig. Differensligninger gjør det mer konkret og jordnært.
3. For å kunne bruke matematikk må man lære seg å oversette fra praktiske problemstillinger til matematiske ligninger. Differensligninger gir gode treningsmuligheter.
4. Teorien for differensligninger er på mange måter en enklere versjon av teorien for differensialligninger (se kapittel 10). Det er nyttig å få en innføring i den enklere teorien først.

Differensligninger møter du ellers i informatikk (f.eks, MA-IN 126 og 226) og i diskret matematikk (MA 108).

Seksjon 4.3 er et mer teoretisk avsnitt. Mye av stoffet her blir viktig for å forstå teorien senere i kurset (og i videregående matematikkurs).

Seksjon 4.1: Her får du en innføring i homogene differensligninger. Legg merke til hvordan de komplekse tallene skaper sammenheng mellom de ulike tilfellene.

Seksjon 4.2: Dette kapittelet handler om inhomogene differensligninger. Som regel er det slike differensligninger som dukker opp i praktiske problemer, og vi skal legge hovedvekten på anvendelser.

Seksjon 4.3. Konvergente følger er et viktig redskap gjennom store deler av kurset. Definisjon 4.3.1 er viktig. Selv om den kan være problematisk å forstå, er den verd å slåss litt med siden den danner mønster for mange lignende definisjoner senere. Som selvstendig terma dukker følger opp igjen i kapittel 11 og 12.

Torgeir Onstad: Fibonacci-tallene, NORMAT 39 (1991), side 20-40. Er du fascinert av Fibonacci-tallene (eller har lyst til å bli det), er denne artikkelen et godt sted å starte. (NORMAT er et tidsskrift som du finner i tidsskriftshyllene på biblioteket).

Kaos er et nytt, tverrfaglig forskningsområde som involverer mange vitenskaper. De enkleste eksemplene på kaos finner du i differensligninger som er litt mer kompliserte enn de vi har sett på her. Nedenfor finner du tre gode, populærvitenskapelige bøker om kaos. Mer matematiske bøker finner du i litteraturtipsene til kapittel 6.

James Gleick: Kaos: en ny videnskabs tilbliven, Munksgaard, København, 1989, 314 sider Boken gir et fascinerende bilde av hvordan kaosteorien vokste frem. Den gir et riktigere inntrykk av hvordan forskning faktiske foregår enn mange andre og mer akademiske bøker.

Ian Stewart: Does God play dice? The mathematics of chaos, Penguin, London, 1990, 317 sider. En annen god populærvitenskapelig bok om kaos. Mer konsentrert om det faglige enn boken til Gleick, men allikevel forståelig for alle. Stewart har forøvrig skrevet mange populærvitenskapelige bøker om matematikk og de er alle verd å lese (men de krever nok relativt gode engelskkunnskaper siden Stewart er en sprudlende forfatter full av vitser og ordspill).

Edward N. Lorenz: The essence of chaos, UCL Press, London, 1993. Enda en god bok om kaos av en av teoriens grunnleggere. Ikke så sprudlende som Stewarts bok, men kanskje lettere å forstå.

Med kapittel 5 og 6 er vi inne i den mest teoretiske delen av kurset. I disse kapitlene finner du tre setninger (skjæringssetningen, ekstremalverdisetningen, middelverdisetningen) som er hovedredskaper for teorien i resten av kurset. Du får også et møte med såkalte "epsilon-delta"-bevis (en fortsettelsen av tankegangen bak definisjon 4.3.1). Hvis du ikke er glad i matematisk teori, får du trøste deg med at denne teoribiten ikke er så lang (og heller ikke så veldig vanskelig hvis du gjør et seriøst forsøk på å forstå). Tankene fra kapittel 5 kommer du til å møte igjen i mange videregående matematikurs, og jo mer du forstår av den nå, dess lettere blir livet senere.

Seksjon 5.1: Her tar vi opp igjen begrepet "kontinuerlig funksjon" fra skolematematikken, problematiserer det en smule og presiserer det. Du gjør deg selv en tjeneste ved virkelig å forsøke å forstå definisjon 5.1.1 (det vil gjøre mye annet lettere).

Seksjon 5.2: Her møter du skjæringssetningen – et viktig resultat som ser ut som en selvfølgelighet. Prøv å forstå hvorfor det ikke er en selvfølgelighet!

Seksjon 5.3: Her møter du ekstremalverdisetningen. Det jeg sa om skjæringssetningen kan gjentas her.

Seksjon 5.4: Grenseverdier har du truffet før. Selv om språkdrakten kanskje er litt annerledes, er det ikke mye nytt her siden videregående skole. I seksjon 6.3 skal du lære en en mer effektiv teknikk for å regne ut vanskelige grenseverdier.

Litteraturtips til kapittel 5: Teorien i dette og de følgende kapitlene finner du i mer "destillert form" (dvs. med større vekt på den teoretiske sammenhengen og mindre på anvendelser og eksempler) i

Tom Lindstrøm: Kompletthet og kontinuitet. Om grunnlaget for differensial- og integralregningen. Gyldendal, Oslo, 1992, 46 sider.

Dersom du synes det blir mye teori og begynner å lure på om det er noe vits med matematikk, kan du ta en titt på heftene

Barry Cipra: What’s happening in the mathematcal sciences? Bind 1-4, American Mathematical Society, 1993-99. Her får du lesbare (for alle!) referater fra ny matematisk forskning med vekt på anvendelser i andre fag.

Dette kapittelet inneholder en del repetisjon, men også en del nytt – både viktig teori og noen nyttige regneteknikker. Middelverdisetningen i seksjon 6.2 er kanskje det viktigste resultatet i hele kurset, og tar du flere matematikkurs, vil du møte denne setningen igjen i utallige sammenhenger. L’Hôpitals regel i seksjon 6.3 er en usedvanlig nyttig teknikk (for å regne ut grenseverdier) som du også vil møte igjen i mange sammenhenger.

I alle fag ved fakultetet er det viktig at du vet hva den deriverte er og kan tolke den i forskjellige praktiske situasjoner. Har du ikke fra før av en god forståelse av hva derivasjon betyr i ulike sammenhenger, er det viktig at du skaffer deg det nå. I de neste matematikkursene (MAT 110/120) vil du møte en utvidet form for derivasjon – partiell derivasjon. Partielle deriverte er ikke vanskeligere å regne ut enn vanlige deriverte, men de er ofte vanskeligere å tolke. God forståelse av partielle deriverte er viktig innenfor de fleste fagområder ved fakultetet, og jeg vil spesielt trekke frem terrmodynamikk (FYS 114/KJ 133) som et felt mange kommer borti.

Seksjon 6.1: Derivasjon er en av de tingene vi forutsetter at du virkelig kan. Denne seksjonen er nesten ren repetisjon, og jeg vil ikke bruke særlig tid på den. Dersom det er lenge siden du har drevet med derivasjon (eller du av andre grunner er redd for at derivasjonsreglene ikke sitter som de skal), så er det viktig at du med en gang regner nok oppgaver til at du får teknikkene inn i fingrene igjen. Det lille avsnittet om logaritmisk derivasjon i slutten av seksjonen er nok nytt for de fleste (et nyttig triks, men ikke veldig viktig).

Seksjon 6.2: Middelverdisetningen ser uskyldig ut, men den er et uhyre viktig våpen som kan brukes på mange måter. Lærer du deg noen av disse måtene, har du virkelig fått utbytte av kurset.

Seksjon 6.3: L’Hôpitals regel er et forbløffende slagkraftig våpen for å regne ut ubestemte grenseuttrykk av typen "0/0", "uendelig/uendelig" osv. Slike grenseuttrykk kommer du til å møte nå og da i forskjellige situasjoner både i matematikk og andre fag, og det er greit å kjenne en generell metode. (Dessuten er det tradisjonelt eksamensstoff!)

Seksjon 6.4: Kurvedrøfting er også en ting du bør kunne fra skolen, og jeg kommer ikke til å bruke mye tid på denne seksjonen.

Seksjon 6.5: Denne seksjonen er pensum, men blir tiden knapp, får dere i oppdrag å lese den på egen hånd!

Jens Lund: Tangentbestemmelse historisk set, Matematikklærerforeningen, 1992, 54 sider. Hovedvekten ligger på tangentbestemmelser på 1600-tallet, Descartes, Fermat, Newton og Leibniz. Inneholder en del matematikk, men er greit å lese.

Med verktøyet fra kapittel 5 og 6 kan du nå lese mer tekniske bøker om kaos enn de jeg nevnte under kapittel 4:

Robert L. Devaney: Chaos, fractals and dynamics: computer experiments in mathematics, Addison-Wesley, Menlo Park, 1990, 181 sider: Skrevet for amerikansk High School-nivå, hovedvekt på dataeksperimenter.

Richard A. Holmgren: A first course in discrete dynamical systems, 2^nd edition, Springer 1996, 223 sider. Litt mer avansert enn den foregående, men mer elementær enn den neste. Kanskje litt kjedeligere enn Devaneys bøker. Står ikke i laveregradshyllen, men på 34 HOL.

Robert L. Devaney: A first course in chaotic dynamical systems: theory and experiment, Addison-Wesley, Reading, 1992, 302 sider. Handler om det samme temaet som de foregående bøkene, men er litt mer avansert (og spennende?) og går et godt stykke lenger. De siste delene må du kanskje vente noen år med å lese.

Tom Lindstrøm: Orden og kaos, Gyldendal, Oslo, 1993, 47 sider. Ikke så spennende som de tre foregående, men viser sammenhengen mellom kalkulus og kaos.

Dette kapittelet består av litt av hvert, og den røde tråden er ikke veldig tilstedeværende. Allikevel er det mye nyttig stoff her, både for videregående matematikkurs og for andre fag.

Seksjon 7.1: I prinsippet er det ikke noe nytt her – uoppstilte maksimums- og minimumsproblemer kjenner du fra skolen. Det er imidlertid viktig å trene på å oversette problemer fra virkeligheten til matematisk form, og en del av de oppgavene du møter her, er nok tøffere enn dem du fikk i videregående skole. Jeg kommer ikke til å bruke så mye tid på dette stoffet i forelesningene, men det blir en del oppgaver til gruppene. Viktig trening for alle fag der du må bruke matematikk i praksis.

Seksjon 7.2: Dette er et annet tema der oversettelsen fra virkelighet til matematikk står sentralt. Stort sett gjelder de samme kommentarene her som i seksjon 7.1, men siden stoffet er nytt, vil jeg bruke litt mer tid på forelesningene.

Seksjon 7.3: Denne seksjonen er pensum, men den blir ikke forelest, bare gjennomgått gjennom en obligatorisk Maple-oppgave.

Seksjon 7.4: Omvendte funksjoner er et viktig tema som ikke lenger behandles i den videregående skolen. Vi må derfor legge litt ekstra arbeid i denne seksjonen. Omvendte funksjoner er viktige i alle fag der funksjoner brukes.

Seksjon 7.5: Bokens korteste seksjon dekker et lite hull i skolematematikken.

Seksjon 7.6: Det finnes faktisk flere viktige funksjoner enn dem du lærte om i skolen. Arcusfunksjonene dukker opp mange steder, så dette er viktig stoff.

Seksjon 7.7: Ikke pensum. Har du overskudd, kan det likevel være greit å kikke raskt i gjennom dette avsnittet som handler om enda en ny funksjonsklasse (hyperbolske funksjoner).

Robert Osserman: Universets poesi : en matematisk oppdagelsesferd i kosmos, Pax 2001, 188 sider.. En praktfull liten bok som viser at matematikk ikke bare er nyttig til praktiske beregninger, men også til å skape et pålitelige verdensbilde. Tar for seg samspillet mellom geometri og kosmologi fra oldtiden til "Big Bang"-teorien. Kan (og bør!) leses av alle. Den norske utgavenhar ikke kommet til biblioteket ennå, men den engelske finnes 00.50 OSS (altså ikke i laveregradshyllene).

Tom Körner: The pleasures of counting, Cambridge University Press, Cambridge, 1996, 534 sider. En bok som viser hvordan matematikk kan brukes i mange sammenhenger av stor samfunnsmessig betydning. Inspirerende, men krever jobbing og god sans for matematikk.

Dette kapittelet handler om integrasjon, både teori og anvendelser. Integrasjon er et viktig hjelpemiddel i nesten alle fag ved fakultetet, og det er viktig for alle både å forstå integralbegrepet og kunne anvende det i praksis. Kanskje synes du at behandlingen i dette kapittelet er overdrevet teoretisk sammenlignet med det du lærte i skolen, men hensikten er å legge et idémessig grunnlag for videre arbeid med integrasjon, f.eks. i MAT 110/120. I disse kursene vil du lære om multippel integrasjon av funksjoner av flere variable. Dette temaet er viktig i mange fag – skal jeg trekke frem noe spesielt, vil jeg nevne at det er helt nødvendig for å kunne behandle innbyrdes avhengige størrelser i statistikk (ST 102/ST 113).

Seksjon 8.1: Dette er oppvarming i den forstand at alt som står her, vil du møte igjen i mer generell form senere i kapittelet. Jeg vet ikke om jeg vil bruke akkurat denne formen for oppvarming på forelesningene, men en eller annen form for motiverende innledning må vi ha.

Seksjon 8.2: Hvis du ikke synes dette er vanskelig stoff, er du ganske glup! Men umulig er det ikke, og jobber du litt med det, vil du kanskje oppleve at mange brikker faller på plass. Uansett bør du få med deg ideen om tilnærming fra utsiden og innsiden – det er denne ideen (i forskjellige varianter) som ligger til grunn for alle avanserte teorier om integrasjon.

Seksjon 8.3: Kursets høydepunkt! Newtons og Leibniz’ oppdagelse av at integrasjon og derivasjon er motsatte regningsarter er et av de store gjennombruddene i vitenskapens historie. Oppdagelsen revolusjonerte ikke bare matematikken, men også fysikken og astronomien. Prøv i det minste å forstå hvorfor resultatet ikke er en selvfølgelighet (det kan være vanskelig nok for en som er vant til å tenke på integrasjon som antiderivasjon!).

Seksjon 8.4: Det meste her vet du fra før, men det er viktig å få satt det inn i den logiske sammenhengen.

Seksjon 8.5: I dette avsnittet ser vi på en annen (men ekvivalent) måte å definere integralet på. Det er viktig å få med seg ideen om integralet som grensen av Riemann-summer – den er utgangspunktet for de fleste praktiske anvendelser av integralet. Den *-merkede delen av denne seksjonen er ikke pensum.

Seksjon 8.6: I denne seksjonen skal vi se på noe av det integrasjon kan brukes til. Litt er kjent fra før (omdreiningslegeme rundt x-aksen), men det meste er nok nytt. Når man tenker på de utallige anvendelsene av integrasjon, er denne seksjonen egentlig litt stakkarslig!

Richard S. Westfall: The life of Isaac Newton, Cambridge University Press, Cambridge, 1994, 328 sider. En god biografi av en av tidenes største vitenskapsmenn.

C. H. Edwards: The historical development of the calculus, Springer, New York, 1979, 351 sider. Gir et godt bilde av teoriens fremvekst. Tøff å lese i sin helhet, men kan være morsom å bla i.

I dette kapittelet skal vi lære mer om integrasjon, men nå skal vi stort sett konsentrere oss om kunsten å regne ut integraler (og ikke å definere dem eller å stille dem opp i praktiske sammenhenger). Du har nok møtt de grunnleggende teknikkene før, men det er likevel mye å lære. Du kommer til å få bruk for disse teknikkene i alle fag der integralregning brukes (og det er de aller fleste ved vårt fakultet).

Mange hevder at det er unødvendig å drille integrasjonsteknikk i våre dager hvor datamaskiner og symbolbehandlende lommeregnere kan regne ut det meste mye fortere enn oss. Jeg tror imidlertid det er gode argumenter for å beholde en del integrasjonstrening – blant annet gjør det oss skikkelig kjent med hva som er styrken og svakheten til de ulike teknikkene, og det gir oss nyttig trening i å manipulere funksjoner. Integrasjonsteknikk gir oss også et bilde av hvordan matematikk egentlig er – ikke en bok full av ferdige oppskrifter til å løse rutineoppgaver, men en samling ideer og teknikker som må med brukes med intuisjon og teft.

Seksjon 9.1: Her får du se delvis integrasjon brukt i ulike sammenhenger.

Seksjon 9.2: Substitusjon (skifte av variabel) er en teknikk som ofte krever litt sluhet. Det er lettere å være lur hvis man har studert en del typiske eksempler og lært seg noen tommelfingerregler.

Seksjon 9.3: Ved å bruke delvis integrasjon og/eller substitusjon kan du ofte gjøre om et integral til et som kan løses ved delbrøkoppspalting. Derfor er det nyttig å kunne denne metoden godt. Sammenlignet med videregående skole går vi her løs på langt mer kompliserte uttrykk.

Seksjon 9.4: Denne seksjonen er ikke pensum, men den kan likevel være verd å kikke på. Dette er nemlig ikke en vanlig seksjon som introduserer nytt lærestoff, men mer en samling triks og eksempler som skal hjelpe deg til å bli bedre til å integrere. Har du tid og overskudd, kan det derfor være lurt å lese seksjonen selv om den ikke er pensum.

Seksjon 9.5: I denne seksjonen definerer vi integraler over (blant annet) uendelige intervaller. Slike integraler dukker ofte opp i andre fag (i fysikk og statistikk finnes de overalt). Vi kommer bare til å ta med de viktigste delene av denne seksjonen og stort sett holde oss unna sammenligningskriteriene.

Seksjon 9.6: Ikke pensum

Arild Stubhaug: Et foranskutt lyn: Niels Henrik Abel og hans tid, Aschehoug, 1996, 578 sider. En av de beste matematikerbiografiene som finnes. Gir et levende bilde ikke bare av Abel som menneske og matematiker, men også av det norske samfunn i en viktig periode.

Jon Reed & Johan Aarnes: Matematikk i vår tid, Universitetsforlaget, Oslo, 1967, 348 sider. Kjernen i denne boken inneholder en moderne versjon av Abels og Galois’ teori for løsbarhet av ligninger. Vanskelig stoff, men det er lov å prøve seg (ingen spesielle forkunnskaper er nødvendig). De andre kapitlene i boken (om sannsynlighetsregning, mengdelære, spillteori og databehandling) er enklere og absolutt verd å lese. Pinlig nok ser det ut som vårt bibliotek ikke lenger har en kopi av denne boken, men den kan lånes inn fra andre steder.

Hadde man avholdt en avstemning om hvilken del av matematikken som er viktigst for andre fag, er jeg ganske sikker på at differensialligningene hadde vunnet. Det er differensialligninger som blant annet beskriver hvordan varme brer seg, bølger forplanter seg, ladninger fordeler seg, været forandrer seg og hvordan atomer er bygd opp. Indirekte gir differensialligningenes betydning en begrunnelse for hvorfor derivasjon og integrasjon er viktig; forstår vi ikke derivasjonsbegrepet, greier vi ikke å stille opp differensialligningene i praktiske situasjoner, og kan vi ikke integrere, mangler vi verktøyet til å løse dem. Det finnes mange typer differensialligninger, og de vi møter i MAT 100 er bare en liten smakebit. Mer om differensialligninger lærer du (f.eks.) i kursene MA-IN 126, MA-IN 226 og FYS 211. Begrunnelsene jeg ovenfor ga for å studere differensligninger, gjelder i enda høyere grad differensialligninger.

Seksjon 10.1: Her lærer du å løse en spesiell klasse differensialligninger. Enkle ligninger av denne typen (der f(x) og g(x) er konstante) har du truffet i 3MX.

Seksjon 10.2: Skal du bruke differensialligninger i anvendelser eller i andre fag, må du lære deg å stille dem opp. Hensikten med denne seksjonen er å vise deg noen nyttige måter å tenke på.

Seksjon 10.3: Denne seksjonen virker kanskje litt verdensfjern og teoretisk, men den tar opp spørsmål av stor praktisk betydning. En differensialligning har som regel uendelig mange løsninger, og skal du finne den løsningen som gjelder for ditt problem, må du kunne formulere de riktige randkravene..

Seksjon 10.4: Nå er vi over på annenordens differensialligninger med konstante koeffisienter. Teorien ligner mye på den vi hadde for differensligninger i kapittel 4 (men vær forsiktig: løsningsformlene er ikke helt identiske). Dette er sentralt stoff for alle fag der svingninger er viktig (fysikk, mekanikk, geofysikk osv.). Bevisene her er ganske lange og omstendelige, og jeg kommer ikke til å gå gjennom mer enn et lite utvalg.

Seksjon 10.5: Denne seksjonen skal vi bare så vidt innom for å få med oss hovedideen.

Seksjon 10.6: Ikke pensum (men absolutt verd å lese hvis du har overskudd)

Seksjon 10.7: Her kommer en ny klasse førsteordens differensialligninger som vi kan løse. Mange synes det er rart at de kommer etter annenordensligningene, men det finnes en grunn (hvor god den er, kan diskuteres): Disse ligningene er ikke-lineære, og de har ikke så pene eksistens- og entydighetsegenskaper som de lineære. I denne seksjonen er det forøvrig mange nye anvendelser å prøve seg på.

Seksjon 10.8: Ikke pensum, men vi kommer sannsynligvis borti noen av ideene i en Maple-øvelse.

Martin Braun: Differential equations and their applications: an introduction to applied mathematics, Springer, New York, 1992, 578 sider. En fin bok om differensialligninger med mange forskjellige anvendelser. Tar seg tid til å sette teorien og anvendelsene inn i en fornuftig ramme. Rimelige vanskelighetsgrad.

Arild Stubhaug: Det var mine tankers djervhet: Matematikeren Sophus Lie, Ascehoug 2000. 621 sider. Differensialligninger og geometri var utgangspunktet for Sophus Lies livsverk. Her kan du lese om ham i en livfull biografi.

Ann Hibner Koblitz: A convergence of lives: Sofia Kovalevskaia: scientist, writer, revolutionary, Rutgers University Press, New Brunswick, 1993, 305 sider. En bra biografi av en av matematikkhistoriens mest levende skikkelser.

Vi skal bare ha med de to første seksjonene fra dette kapittelet. Taylor-polynomer er viktige i mange fag (fysikk, astronomi, mekanikk, geofysikk, informatikk), og det er viktig at du får med deg hovedideene..

Seksjon 11.1: Dette er greit stoff. Sørg for å få med deg hovedideen: Taylor-polynomene er gode tilnærminger til funksjonen i nærheten av utviklingspunktet. I fysikk og beslektede fag brukes denne ideen igjen og igjen.

Seksjon 11.2: Dette avsnittet faller erfaringsmessig mye tyngre, men det er bare et forsøk på kvantifisere ideen i forrige avsnitt: Hvor gode tilnærmelser er Taylor-polynomene og i hvor store områder ? Denne tankegang er spesielt viktig i deler av informatikkfaget (numerisk analyse, MA-IN 127).

Litteraturtips til kapittel 11:

William Dunham: Journey through genius : the great theorems of mathematics , Wiley, New York, 1990, 300 sider. En gjennomgang av noen av matematikkens store teoremer gjennom tidene. Interessant og lesbart, men krever litt arbeid. Har ikke så mye med kapittel 11 å gjøre, men en fin bok!