Forskningsgruppen i algebraisk geometri
Gå til:
English
Seminar våren 2007
Følgende personer er knyttet til forskningsgruppen i algebra og algebraisk geometri.
Fast ansatte:- Gunnar Fløystad (gunnar@mi.uib.no)
- Audun Holme (holme@mi.uib.no)
- Trygve Johnsen (johnsen@mi.uib.no)
- Stein Arild Strømme (stromme@mi.uib.no)
Algebraisk geometri er en klassisk disiplin, med problemstillinger som strekker seg flere hundreår tilbake i tid. Feltet har også de siste tiår vist seg bemerkelsesverdig effektivt for å forklare og løse problemer som oppstår innen andre grener av vitenskapen.
Av de klassiske disipliner som har stått sentralt innen gruppens forskning, er studiet av algebraiske mangfoldigheter og deres embeddinger inn i laveredimensjonale rom. En har her vært opptatt av å utvikle algebraiske metoder og verktøy til å studere embeddede projektive mangfoldigheter. Konkret har initialidealer vært gjenstand for stor interesse. Her har en generalisert disse til høyere initialidealer som på en naturlig måte danner et komplett sett av invarianter for embeddede projektive mangfoldigheter. Spesielt har en anvendt disse på studiet og klassifikasjon av romkurver som er et klassisk felt der det har vært stor internasjonal aktivitet. Også mer klassiske kohomologiske metoder har vært brukt til å studere romkurver og deres Hilbertskjemaer.
Et tema som vies stor oppmerksomhet er varieteter av lav kodimensjon i projektive rom. Dette er et område som ligger godt til rette for utvikling av effektive metoder for beregning. Hartshornes formodning om at visse slike varieteter er komplette snitt, er en ledestjerne for denne forskningen. Et viktig tema innen studiet av projektive algebraiske varieteter er sekantstrukturer og -varieteter, tilordnede varieteter som duale varieteter og beslektede konstruksjoner. I nær tilknytning til dette kommer studiet av vektorbunter på algebraiske mangfoldigheter, herunder projektive rom, og modulrom for disse.
Antallsgeometri og snitt-teori drives med ulike perspektiver for øye. På den ene siden videreutvikler en klassisk teori, med linjer tilbake til forrige århundre, gjennom utforskning av nye metoder og begreper. Studiet av ulike modulrom, parameterrom og kohomologiringer står sentralt. Eksempler er Hilbertskjemaer, modulrom for vektorbunter, og andre geometriske kvotienter. I tilknytning til dette blir det benyttet datamaskiner for symbolske og numeriske beregninger, og det er utviklet programvare for utregning av Chernklasser og snitt-tall.
På den annen side knytter en forbindelseslinjer til andre disipliner, som strengteori innen teoretisk fysikk. Nøkkelord for forskningen på dette området er speilsymmetri og rasjonale kurver på Calabi-Yau trefoldigheter. Antall kurver av gitte grader på femtegradshyperflater i firerommet er gjenstand for spesiell oppmerksomhet. Bare det å verifisere at generelle Calabi-Yau trefoldigheter av gitt type har et endelig antall slike kurver, er mange ganger svært vanskelig, og er blant temaene gruppen fokuserer på. Koblingen til fysikk går gjerne i hopehav med andre deler av matematikken, og fordrer vesentlige ingredienser av topologi, differensialgeometri og analyse.
Av andre anvendelser av algebraisk geometri som gruppen er interessert i, kan nevnes algebraisk-geometriske (Goppa)koder. En vil også nevne representasjonsteori for algebraiske grupper og kvantegrupper som en nylig oppstått interesse. Dette er et felt med stor internasjonal aktivitet, der en ønsker å orientere seg nærmere om og delta i.
