Topology seminar spring 2008

CRN Topology

The Abel symposium 2007

Wiki: topology

Mastergradsoppgaver 2008,
Bjørn Ian Dundas

Jeg tilhører gruppen for topologi, og tilbyr i hovedsak oppgaver innen dette temaet, men noen oppgaver kunne like gjerne vært kategorisert under algebra. Stort sett blir studentene ved UiB ikke eksponert for topologi før (altfor) sent i studiet. For noen glimt kan du kikke i Wikipedias artikkel og på noen populærvidenskapelige foredrag jeg har gitt i det siste: Romforskning og Sfærespekteret.

Forslagene under er bare skisser til et utgangspunkt for en master: oppgavene må utformes og tilpasses den enkelte student, og videreutvikles til å gi fulle oppgaver. I sin endelige form vil oppgavene omfatte mange begrep som dere ikke ennu har kjennskap til, og beskrivelsene under blir selvsagt noe omtrentlige og forenklede. Atter andre temaer som ikke har en klar popularisering er rett og slett utelatt, men vil likevel være en mulighet å nærme seg når kunnskapsomfanget øker.

Felles krav til forkunnskaper er opptakskravene til masterstudiet i topologi. Det vil være sterkt ønskelig at man tar MAT341 i første semester av masterstudiet. Videre studier i topologi vil foregå i form av spesialpensa.

Oppgaveforslag

• Høyere ordens syklisk homologi.

  I forbindelse med sin ikkekommutative geometri introduserte Connes syklisk homologi. Når input likevel er kommutativt (i en passende generalisert forstand) skjer det mange spennende ting. Blant annet er det en formodning om at man klatrer det kromatiske tårnet: "primtallsfaktoriseringen til sfærespekteret".

  Spørsmålene som blir tatt opp i denne oppgaven vil knyttes mot et prosjekt jeg har med Brun (Bergen), Carlsson og Douglas (Stanford). Alexander Lundervold skrev våren 2007 en hovedoppgave innen dette temaet.

  Bl.a. kan det bli aktuelt å studere den rent algebraiske strukturen som fremkommer fra høyere ordens deRham-Witt-komplekset.

• Geometrien til 2-vektorbunter

  En vektorbunt er et rom der hvert punkt erstattes med et helt vektorrom på en pen og kontinuerlig måte. I forbindelse med kvantefeltteorier er vektor bunter og deres geometri viktige, men det viser seg at også finere strukturer er av betydning. I den forbindelse har Baas (NTNU), Richter (Hamburg), Rognes (UiO) og jeg et oppsett for "2-vektor bunter". Der er vektorrom byttet ut med 2-vektorrom. Akkurat som en vektor er et tupel av tall er en 2-vektor et tupel av vektorrom, og matriser av tall byttes ut med matriser av vektorrom. Det overraskende er at dette gir opphav til en teori knyttet til kvantefeltteorier og til "primtallsfaktoriesringen av sfærespekteret".

  En mangel i forbindelse med anvendelsen til kvantefeltteori er at geometrien for 2-vektorbunter ikke er utviklet. Dette er ikke et enkelt spørsmål, for eksempel har man ikke en god formening om hva krumning skal bety, man har ingen indeksteori og man mangler man helt en teori for determinanter for 2-vektorrom, og problemer i denne forbindelse er interessante nok i seg selv. Noen av spørsmålene vil kreve en del differensialgeometri.

• Symmetriske produkter.

  Utgangspunktet for denne oppgaven vil være et studium av et konkret rom: det "nte symmetriske produktet av tori". Disse rommene er viktige innen algebraisk geometri såvel som algebraisk topologi og hvilke aspekter som vektlegges kan i noen grad velges av studenten. Den sammenhengen vi her skal sette disse rommene i er gruppevirkninger. Om en algebraisk vinkling velges bør MAT321 følges og et samarbeid med gruppen for algebra vil være naturlig.

• Tensor, trase og komposisjon

  Produktet i en kommutativ ring kan tenkes på på (minst) to måter, noe man ser dersom man går til matriser. På den ene siden har du vanlig matrisemultiplikasjon og på den andre har du tensor av matriser. Disse konstruksjonene er knyttet gjennom trasen. Disse to operasjonene gir opphav til forskjellige konstruksjoner med hver sine fordeler (men som altså faller sammen i det en-dimensjonale tilfellet), og oppgaven vil gå ut på å sammenligne disse, spesielt med tanke på å avklare spørsmål i algebraisk K-teori.

• Subdivisjon, simplekser og symmetrier.

  Oppgaven handler om å utvikle en kombinatorisk velegnet oppdelingsalgoritme fra ren matematikk for bruk innen numerikk eller geometrisk modellering. Spesielt med tanke på problemstillinger med viktige symmetriegenskaper. Det er ingen spesielle forutsetninger for å kunne ta denne oppgaven. Det kan være en fordel om man har noe trening i algebra eller topologi. Et samarbeid med numerikkgruppen vil være naturlig (mer utfyllende, men litt gammel informasjon finner du her)