navn: GERT M. HANA FAG: STIPENDIAT, MATEMATISK INSTITUTT

MATEMATIKERE PRØVER OFTE Å GJØRE EN TEORI ABSTRAKT SLIK AT MAN KAN ANVENDE DEN PÅ FLEST MULIG BRUKSOMRÅDER. MÅLTEORI ER DEN GREN AV MATEMATIKKEN SOM GIR EN ABSTRAKT BESKRIVELSE AV Å MÅLE STØRRELSEN PÅ OBJEKTER.

UENDELIGHET OG TOMHET

EKSEMPEL PÅ TO ULIKE MÅL PÅ SAMME MENGDE.

BESTREBELSENE ETTER å lage en mer generell integralteori og utviklingen av mengdelæren var medvirkende årsaker til at målteorien oppstod for litt over hundre år siden. De objektene matematikere ønsket å si noe om størrelsen på, kan sees på som mengder. Generelt ønsket man derfor å definere et «mål» som en regel som gir størrelsen til delmengdene til en gitt mengde M. Videre ønsket man at den skulle oppfylle visse betingelser, som at den samlede størrelsen på to distinkte objekter (dvs. delmengder) er lik summen av størrelsene til hvert av objektene. I resten av denne artikkelen vil jeg bruke ordet «mål» i den abstrakte matematiske betydningen skissert her, et «mål» vil altså fra nå av være en regel. Artikkelen er nok noe tung å lese for folk som ikke er vant til å lese matematikk, men jeg håper og tror at den iherdige leser vil forstå mesteparten av det jeg skriver.

LA OSS SE PÅ HVA SOM SKJER dersom man prøver å lage et mål for det reelle tredimensjonale rommet, som vi kaller R3. Dette eksempelet er også interessant i seg selv, siden det viser at matematiske objekter ofte oppfører seg stikk i strid med såkalt «sunn fornuft». (Vi ser her på rommet i en abstrakt matematisk forstand, og ikke som det fysiske rommet vi faktisk befinner oss i. Dette er nødvendig for at resultatet jeg nevner skal være sant!) La oss prøve å finne et mål som gir volumet til delmengder av R3. Et slikt mål må i hvert fall oppfylle følgende betingelser: i) volumet til kuben med sidelengder en må være en ii) dersom vi forflytter, roterer eller reflekterer en delmengde må den nye delmengden ha samme volum iii) dersom vi deler en delmengde opp flere biter (muligens uendelig mange) må volumet til delmengden være lik summen av volumene til bitene. Det viser seg at man ikke kan lage et mål på R3 som oppfyller disse betingelsene. En måte å vise dette på, er ved Banach-Tarski paradokset. (Navnet er noe misvisende, siden det egentlig ikke er et paradoks, men et resultat.) Banach-Tarski paradokset (i en forenklet versjon) sier føl- gende: Det finnes en oppdeling av kuben med sidelengder en (uten dens overflate) i et endelig antall biter slik at etter å ha forflyttet, rotert og reflektert disse bitene kan man sette dem sammen igjen på en slik måte at vi får to kuber av sidelengde en (uten deres overflater)! Bitene vi deler kuben opp i, er veldig kompliserte og rare, og det er umulig å visualisere dem på en skikkelig måte. Man kan nå vise at det ikke finnes noe mål som oppfyller betingelsene over. For ved i) og iii) må volumet til to kuber med sidelengde en være to, mens Banach-Tarski paradokset og iii) gir at volumet til én kube er det samme som volumet til to kuber. Begge disse utsagnene kan ikke være sanne samtidig, så det finnes ikke noe mål på R3 som oppfyller de ønskede betingelsene. Merk at for linjen og planet får vi ikke samme problem som for rommet. Det oppstår allikevel andre problem som gjør at vi ikke kan definere lengde på linjen eller areal i planet som oppfyller betingelsene over. Om vi derimot tar en svakere versjon av betingelse iii), nemlig om vi antar at alle oppdelingene skjer i et endelig antall biter, da går det an å definere lengde på linjen eller areal i planet som oppfyller de nye betingelsene. (Merk at Banach-Tarski paradokset gjør at vi ikke kan definere volum i rommet selv med den nye betingelsen.) I målteorien er ikke denne svakere versjonen av betingelsene ønskelig, siden det i mange anvendelser er nødvendig å kunne dele opp delmengdene i uendelig mange biter.

PROBLEMET OVER ER AT VI PRØVER å definere et mål ved å tilegne en størrelse til alle delmengder. Det viser seg at dersom man prøver å definere et mål så generelt som dette, da må regelen i mange tilfeller bli så intetsigende at man ikke kan bruke den til noe nyttig. Matematikere kom seg unna dette problemet ved å bare se på noen delmengder istedenfor alle. Dersom vi gjør dette viser det seg at vi kan definere mål slik at de oppfyller de ønskede betingelser. Jeg skal nå gi en (noe upresis) definisjon av et mål. Et mål er en regel som tilordner visse delmengder (disse delmengdene kaller vi målbare) av en gitt mengde M et ikke-negativt tall (muligens uendelig). Dette tallet kaller vi målet til delmengden og det skal oppfylle følgende betingelser: i) målet til den tomme delmengden er lik null ii) dersom vi deler en målbar delmengde E opp i et tellbart antall målbare biter Ei, må målet til E være lik summen av målene til Ei ene. (Se under for en definisjon av tellbarhet.) Det finnes mange forskjellige mål på samme mengden. La for eksempel mengden være et verdenskart. Dersom verdenskartet er formet som en globus, vil målestokken være den samme ved ekvator og ved Bergen. Om kartet derimot er tegnet med en Mercatorprojeksjon, vil målestokken være vidt forskjellig ved Bergen og ved ekvator. (Målestokken vil være omtrent dobbelt så stor i retningen øst-vest og like stor i retningen nord-sør ved Bergen som ved ekvator).

CANTORMENGDEN HAR MÅL NULL, MEN INNEHOLDER ALLIKEVEL MANGE PUNKTER.

JEG HAR TENKT Å SE LITT PÅ det målet på tallinjen som måler lengden til mengder. Vi ønsker å lage dette målet slik at mengden som består av alle tall mellom a og b (a<b) har mål b-a (en slik mengde kalles et intervall). Denne betingelsen gjør at målet vi ser på, måler lengden til intervall akkurat på samme måte som om en hadde brukt en linjal på tallinjen. Det viser seg at med denne betingelsen, er et mål på tallinjen entydig gitt når vi har bestemt hvilke mengder som skal være målbare (forutsatt at disse velges slik at det er mulig å oppfylle betingelsen). Jeg skal ikke gå inn på hvilke mengder man velger til å være målbare, bare bemerke at mengdene i eksemplene under kan velges målbare. Vi sier at en mengde har mål null dersom målet til denne mengden er lik null. For målet på tallinjen vil det at en mengde har mål null bety at «lengden» til mengden er lik null. Allikevel kan mengden ha mange elementer. For eksempel har tellbare mengder mål null. En mengde er tellbar dersom det finnes en følge som inneholder alle elementene i mengden. Eksempler på tellbare mengder er mengdene av de naturlige tallene og de rasjonale tallene. (Følgene 1,2,3,4,... og 0,1,-1,1/2,-1/2,2/2,-2/2,1/3,-1/3,2/3,-2/3,3/3,- 3/3,1/4,... viser at disse to mengdene er tellbare.) Vi skal nå vise at en tellbar mengde M har mål null. La m være et positivt tall og a1,a2,a3,... være en følge som inneholder alle elementene i mengden M. La a1 være midt i et intervall med lengde m/2, a2 være midt i et intervall av lengde m/4, a3 være midt i et intervall av lengde m/8, osv. Da vil elementene i mengden bli dekket av intervall med samlet lengde m, så målet til M må være ikke-negativt og mindre enn eller lik m. Dette utsagnet gjelder for alle positive tall m. Ved å velge m veldig liten, ser vi at M må ha mål null. Størrelsen til tellbare mengder er liten i forhold til størrelsen til mengden av reelle tall. Men det finnes mengder med samme kardinalitet som de reelle tallene, og som allikevel har mål null. (Kardinaliteten til en mengde er et mål for hvor stor mengden er. Endelige mengder har samme kardinalitet dersom de inneholder like mange element. For uendelige mengder er definisjonen noe vanskeligere, men uformelt kan vi si at uendelige mengder har samme kardinalitet dersom de er av samme størrelsesorden.) Kroneksempelet her er Cantormengden (se figur). Start med intervallet bestående av tallene mellom 0 og 1 (inkludert tallene 0 og 1). Del intervallet i tre og ta vekk den midtre delen (la endepunktene være igjen). Gjør så det samme med hvert av de to intervallene som er i igjen. Fortsett slik (se figur). De punktene som ikke blir tatt bort uansett hvor lenge en holder på, utgjør Cantormengden. Man kan vise at Cantormengden har mål null og samme kardinalitet som de reelle tallene. M.a.o. har Cantormengden «lengde» null, men den inneholder allikevel like mange punkter (i størrelsesorden) som hele intervallet mellom 0 og 1.

TIL SLUTT VIL JEG NEVNE to av målteoriens bruksområder, nemlig integrasjonsteori og sannsynlighetsregning. Riemann-integralet, som er det integralet man lærer om i begynnerkursene i matematikk, har flere svakheter. Et problem med Riemann-integralet er at man bare kan bruke det til å integrere forholdsvis «enkle» og «pene» funksjoner. (Et annet litt mer teknisk problem er at konvergensresultatene som gjelder for Riemann-integralet, er svake.) På slutten av 1800-tallet og begynnelsen av 1900-tallet kom mange matematikere med forslag til en mer generell definisjon av integralet. Det er Lebesgue-integralet, fra 1902, som har vist seg å tåle tidens tann. Å ha mål på mengden en skal integrere over, er nødvendig for å kunne bruke Lebesgueintegralet. Et eksempel på en funksjon som lar seg integrere med Lebesgue-integralet, men ikke med Riemann-integralet, er funksjonen som er null for rasjonale tall og en for irrasjonale tall. Mens integralteorien og målteorien ble utviklet samtidig, og man på mange måter kan si at målteorien ble utviklet for å være et redskap til integralteorien, har målteorien også anvendelser som har dukket opp først etter at man hadde sett nytten av målteorien innenfor andre felt. En slik anvendelse finner man i sannsynlighetsregningen. Da Kolmogorov aksiomatiserte sannsynlighetsregningen på 1930-tallet, ble det gjort ved å la mål få en sentral plass. Folk som har vært borti sannsynlighetsregning vil se at et mål hvor målet til hele mengden M er lik 1 er det samme som en sannsynlighetsfordeling. (Å si at målet til hele mengden er 1 blir det samme som å si at den samlede sannsynlighet for alle mulige utfall er 1.) Å bruke målteoriens resultater i sannsynlighetsregningen har vist seg å være svært nyttig.