Partielle Differensialligninger

- en spesialisering innen Masterstudiet i Matematikk ved UiO

Bildet til venstre kommer fra en numerisk løsning av Eulerligningene. Dette er en modell for flyt av gass med høye hastigheter. På bildet ergråfargen proporsjonal med den deriverte av hastigheten til gassen. Bildet til høyre kommer fra en numerisk løsning av en differensialligning som dukker opp I forbindelse med optimal kontroll, I dette tilfellet er høyden på flaten proporsjonal med hvor mange enheter av en vare man bør selge for å få maksimal forventet gevinst.

Differensialligninger

Helt siden Newton og Leibnitz oppfant kalkulus har matematisk modellering ved hjelp av integral og differensialligninger dannet grunnlaget for naturvitenskapene. Hele vitenskaper er vokst opp rundt studiet av  enkelte differensialligninger, så som kjernefysikk rundt Schrødingers ligning, fluidmekanikk og meteorologi rundt Navier-Stokes ligninger, mekanikk rundt Lagranges ligning for  å nevne noen eksempler. Derfor kan vi si at differensialligninger har en svært andvendt side. Men disse anvendelsene har også påvirket utviklingen av såkalt ren matematikk. Mange matematiske fagfelter, for eksempel Lie grupper og funksjonalanalyse, har sitt utspring i studiet av differensialligninger. Studiet av differensialligninger har derfor to sider, en symbolsk (eller teoretisk) og en konstruktiv (eller beregningsmessig) del.

I noen få tilfeller kan man finne løsningen på en differensialligning ved en eksakt formel. Dette kan være som en kombinasjon av elementære funksjoner eller ved en potensrekke. Dette er den klassiske matematiske metoden for å finne løsninger på differensialligninger. Imidlertid virker denne framgangsmåten bare i noen få tilfeller, og man må finne tilnærmede løsninger. Dette gjøres oftest ved å diskretisering av ligningen, dvs. man erstatter deriverte med endelige differenser. Dette gir en numerisk metode. En god numerisk metode er en metode der feilen minker når beregningsarbeidet øker.

� vise dette er ofte svært vanskelig, og metodene som benyttes krever ofte en solid bakgrunn i analyse. Derfor kan man si at selv den praktiske siden av differensialligninger har et sterkt teoretisk aspekt. En annen måte å si dette på, er at teori og beregninger er nært knyttet sammen innen studiet av differensialligninger.

Partielle differensialligninger er differensialligninger med partiellt deriverte, mao. i partielle differensialligninger avhenger den ukjente av flere variable.

Partielle differensialligninger er et bredt og svært aktivt fagfelt internasjonalt. Ved Matematisk Institutt er studiet av partielle differensialligninger en sentral del av CMA (Centre of Mathematics for Applications). Her finnes det en aktiv forskningsgruppe. For informasjon om forskningsgruppen, dens aktiviteter og aktuelle temaer for masteroppgaver, kan man kontakte enkeltmedlemmene (se link nederst.)

Om masterstudiet i matematikk med "Partielle Differensialligninger" som spesialisering.

For å kunne skrive en masteroppgave innenfor feltet Partielle Differensialligninger, må man ha fullført bachelorgraden i Matematikk, Informatikk og Teknologi, med studieretningen i matematikk. I tillegg anbefales det sterkt at INF-MAT3360
taes i løpet av bachelorstudiet.

Deretter må følgende emner taes i løpet av mastersudiet:

MAT 3500 / MAT 4500 (Topologi),
MAT 3300 / MAT 4300 (Mål- og integrasjonsteori),

MAT-INF 4300 (Partielle differensialligninger og Sobolev rom I) ,
MAT-INF 4310 (Partielle differensialligninger og Sobolev rom II) .

For et masterstudium vil det vil være en fordel med en bred bakgrunn i matematikk. Emner i funksjonalanalyse og Fourier analyse vil være nyttige, men nær sagt alle andre emner i matematikk kan velges til å fylle opp emnekvoten for mastergraden. Emner i fysikk, mekanikk og informatikk, spesielt numerisk analyse, er også relevante. 

En mal for et studieplan for et masterstudium med spesialisering innenfor partielle differensialligninger med en kort masteroppgave er :

For studenter som har tatt mye matematikk (bl.a. INF-MAT3360) i bachelor-graden vil en studievei kunne se slik ut :

Det er ikke nødvendig å velge en kort oppgave, en mulig studievei med en lang oppgave er:

Disse studieveiene er bare ment som eksempler. Den enkelte students studievei på masternivå vil bli lagt opp i samarbeid med veilederen, med utgangspunkt i studentens bakgrunn og interesser og med tanke på temaet for masteroppgaven. Ta gjerne kontakt med
Kenneth Karlsen, Nils Henrik Risebro eller Ragnar Winther for å avtale en samtale.

Sist endret 18.11.2005.