Ukens paranøtt
På denne siden vil du finne de paranøttene som er blitt gitt så langt, i omvendt kronologisk rekkefølge (de nyeste øverst) Etter at nøtten har stått en stund, kommer hint og deretter løsningsforslag. Fjorårets nøtter finner du her.
PARANØTT 14 (til uken 27/11-1/12)
En apoteker hadde bestilt 10 glass med piller fra medisinaldepotet. Hvert gass inneholder 2000 piller. Like etter at han hadde mottatt bestillingen, fikk han et telegram om at noen av glassene var fylt med piller som veide 10 milligram for mye.
- Vi må finne ut hvilke glass det er, sa apotekeren. Vi får gå igang og veie.
- Det klarer seg med én veiing, sa farmasøyten.
Er det mulig? (De bruker en vanlig vekt som gir vekten i gram, ikke en skålvekt som i forrige oppgave )
PARANØTT 13 (til uken 20/11-24/11)
Du har ni perler. Én av dem er falsk og har en annen vekt enn de andre (du vet ikke om den er lettere eller tyngre). For å finne den falske perlen, skal du bruke en enkel skålvekt. Forklar hvordan du kan finne den falske perlen ved hjelp av bare tre veiinger. (Ved hver veiing legger du perler i hver av skålene. Vekten forteller deg bare hvilken skål som har fått den tyngste lasten.)
PARANØTT 12 (til uken 13/11-17/11)
Figuren nedenfor viser en plantegning av et hus med døråpninger. Er det mulig å finne en vei som passerer gjennom hver dør én og bare én gang?
PARANØTT 11 (til uken 6/11-10/11)
Sidene i en likesidet trekant er 1cm lange. Vis at dersom du plukker ut 5 punkter inni trekanten, må minst to ha en innbyrdes avstand mindre enn 0.5 cm.
PARANØTT 10 (til uken 30/10-3/11)
Vi har en samling jenter og gutter. Hver gang vi plukker ut en gruppe av guttene, kjenner de til sammen en minst like stor gruppe med jenter (plukker vi ut k gutter, kjenner de altså til sammen minst k jenter). Vis at det er mulig å gifte alle guttene med hver sin jente slik at hver gutt kjenner den jenta han blir gift med.
PARANØTT 9 (til uken 23/10-27/10)
På figuren tenker vi oss at AB=BC=CD=DE=EF=FG=GA (figuren er ikke eksakt riktig). Hvor stor er vinkel v?
PARANØTT 8 (til uken 16/10-20/10)
I en volleyballturnering spiller alle lag én kamp mot hvert av de andre lagene. Ingen kamper ender uavgjort (uavgjort finnes ikke i volleyball). Vi sier at en gruppe lag (ett eller flere) skiller seg ut dersom lagene i denne gruppen har vunnet alle kampene mot lag som ikke er med i gruppen. Anta at det i vår turnering ikke er noen gruppe som skiller seg ut. Vis at uansett hvilke to lag A og B vi plukker ut, så finnes det en kjede
A, X, Y, Z, ...., B
der hvert lag i kjeden har slått det neste. (Ekstraoppgave for fotballidioter: Lag en slik kjede som "beviser" at Tromsdalen er et bedre lag enn Manchester United).
PARANØTT 7 (til uken 9/10-13/10)
I et planlagt hotell skal det være 7 heiser. For å rasjonalisere driften ønsker man at hver heis bare kan stoppe i seks forskjellighe etasjer, men at det alltid skal være mulig å komme fra én etasje til en annen uten å bytte heis. Hva er det største antall etasjer hotellet kan ha?
PARANØTT 6 (til uken 2/10-6/10)
Hvis n er et naturlig tall, la s(n) være antall måter vi kan skrive n som en sum av naturlige tall. Vi ser for eksempel at s(4) = 8, siden 4 kan skrives som en sum på disse måtene
4, 3 + 1, 2 + 2, 1 + 3, 2 + 1 + 1, 1 + 2 + 1, 1 + 1 + 2, 1 + 1 + 1 + 1
Legg merke til at vi regner med summer med bare ett ledd (slik som 4) og at vi regner summer som 2 + 1 + 1 og 1 + 2 + 1 der trekkefølgen er byttet om, som forskjellige. Finn (og bevis!) en enkel formel for s(n).
PARANØTT 5 (til uken 25/9-29/9)
På en ensom øy i Miraklenes hav bor et lykkelig folkeferd. Øya er så liten at alle kjenner alle, og med ett unntak er øyboerne usedvanlig intelligente og rasjonelle. Unntaket er at det blir ansett som en stor skam å ha blå øyne. Dersom en av øyboerne oppdager at han har blå øyne, vil han flykte fra øya ved midnatt. Heldigvis er det ingen speil på øya, det finnes ingen kjennskap til arvelære, og alle er altfor høflige til å nevne andres øyenfarge med et ord. En dag får øya besøk av en misjonær. Da han skal til å forlate øya, forteller misjonæren alle på øya at hans synes det er rart at det i et så lite samfunn finnes to øyenfarger, brunt og blått. Førtitre netter senere flykter mange øyboere fra øya. Hvor mange på øya hadde blå øyne?
PARANØTT 4 (til uken 18/9-22/9)
En trollmann har tre lærlinger. En dag kommer han inn i klasserommet med fem hatter, to svarte og tre hvite. Han ber lærlingene lukke øynene, plasserer én hatt på hvert hode, og skjuler de to siste. Lærlingene sitter på én rekke og når de åpner øynene, kan de se hattene til dem som sitter foran, men de kan ikke se sin egen hatt eller hattene til dem som sitter bak. Trollmannen spør den bakerste lærlingen: "Vet du fargen på hatten din?". Lærlingen svarer nei. Så spør trollmannen den midterste lærlingen og får samme svar. Da smiler den fremste lærlingen og sier. "Men jeg vet fargen på min hatt!". Hvilken farge hadde hatten hennes?
PARANØTT 3 (til uken 11/9-15/9)
I sekskanten ABCDEF er alle vinkler 120 grader. Vis at
AB + AF = CD + DE
CD + BC = EF + AF
AB + BC = DE + EF
(her er AB lengden til linjestykket fra A til B)
PARANØTT 2 (til uken 4/9-8/9)
Du har et kvadratisk rutenett med 2n ruter i begge retninger (n er et naturlig tall – figuren viser tilfellet n = 3, altså 8 ruter i hver retning). Én av rutene er fjernet. Vis at du alltid kan dekke de gjenværende rutene med brikker som vist nedenfor. Brikkene har ikke lov til å overlappe eller stikke utenfor rutenettet (men du har selvfølgelig lov til å snu på dem)
PARANØTT 1 (til uken 28/8-1/9)
Vi har to kopper – en fylt med kaffe, den andre med te. Vi tar en teskje av kaffen over i tekoppen, rører godt rundt og tar en teskje av blandingen tilbake i kaffekoppen. Er det nå mest kaffe i tekoppen eller mest te i kaffekoppen?